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5. 阅读下列材料：
计算：$(2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)$.
解：原式 $= (2 - 1)×(2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)$
$= [(2 - 1)×(2 + 1)]×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)$
$= (2^2 - 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)$
$= (2^4 - 1)×(2^4 + 1)$
$= 2^8 - 1$
$= 255$.
运用上述方法计算：$(1 + \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{2^2})×(1 + \frac{1}{2^4})×(1 + \frac{1}{2^8})×(1 + \frac{1}{2^{16}}) + \frac{1}{2^{31}}$.
计算：$(2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)$.
解：原式 $= (2 - 1)×(2 + 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)$
$= [(2 - 1)×(2 + 1)]×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)$
$= (2^2 - 1)×(2^2 + 1)×(2^4 + 1)$
$= (2^4 - 1)×(2^4 + 1)$
$= 2^8 - 1$
$= 255$.
运用上述方法计算：$(1 + \frac{1}{2})×(1 + \frac{1}{2^2})×(1 + \frac{1}{2^4})×(1 + \frac{1}{2^8})×(1 + \frac{1}{2^{16}}) + \frac{1}{2^{31}}$.
答案：
$(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})×(1+\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{31}}$$=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^{2}})×(1+\frac{1}{2^{4}})×(1+\frac{1}{2^{8}})×(1+\frac{1}{2^{16}})+\frac{1}{2^{31}}$$=2×(1-\frac{1}{2^{32}})+\frac{1}{2^{31}}=2$.
1. 已知 $ a^{2}+b^{2}= 25 $ 且 $ (a - b)^{2}= 49 $,求 $ ab $ 与 $ (a + b)^{2} $ 的值.
答案：
$ ab=\frac{a^{2}+b^{2}-(a-b)^{2}}{2}=-12 $，$ (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=1 $.
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