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5. (1)因式分解：
①$1+x+x(x+1)=$
②$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}=$
③$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+x(x+1)^{3}=$
(2)根据上述结果,猜想：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+… +x(x+1)^{n}=$
①$1+x+x(x+1)=$
$(1+x)²$
；②$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}=$
$(1+x)³$
；③$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+x(x+1)^{3}=$
$(1+x)⁴$
.(2)根据上述结果,猜想：$1+x+x(x+1)+x(x+1)^{2}+… +x(x+1)^{n}=$
$(1+x)^{n+1}$
.
答案：
（1）①(1+x)².②(1+x)³.③(1+x)⁴.（2）(1+x)ⁿ⁺¹.提示：1+x+x(x+1)+x(x+1)²+…+x(x+1)ⁿ=(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)ⁿ⁻¹]=(1+x)²[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)ⁿ⁻²]=…=(1+x)ⁿ(1+x)=(1+x)ⁿ⁺¹.
1. $-x^{2}+y^{2}$因式分解的结果是(
A.$(x+y)(x-y)$；
B.$(-x+y)(-x-y)$；
C.$(-x+y)(x+y)$；
D.$(-x+y)(x-y)$。
C
)A.$(x+y)(x-y)$；
B.$(-x+y)(-x-y)$；
C.$(-x+y)(x+y)$；
D.$(-x+y)(x-y)$。
答案：
C.
2. 因式分解：
(1) $x^{2}-100=$
(2) $4a^{2}-9b^{2}=$
(3) $a^{2}b^{2}-\frac{1}{9}=$
(4) $-16+25x^{2}=$
(1) $x^{2}-100=$
$(x+10)(x-10)$
；(2) $4a^{2}-9b^{2}=$
$(2a+3b)(2a-3b)$
；(3) $a^{2}b^{2}-\frac{1}{9}=$
$(ab+\frac{1}{3})(ab-\frac{1}{3})$
；(4) $-16+25x^{2}=$
$(5x+4)(5x-4)$
。
答案：
（1）$(x+10)(x-10)$．（2）$(2a+3b)(2a-3b)$．（3）$(ab+\frac{1}{3})(ab-\frac{1}{3})$．（4）$(5x+4)(5x-4)$．
3. 因式分解：
(1) $2a^{3}-8a$；
(2) $x^{4}-16$；
(3) $(a+b)^{2}-4b^{2}$；
(4) $9x^{2}-16(a+b)^{2}$；
(5) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}-\frac{1}{8}x^{2}y^{4}$；
(6) $81a^{5}b^{5}-ab$；
(7) $(x+y)^{3}(x-y)-(x+y)(x-y)^{3}$；
(8) $25(x-2y)^{3}+4(2y-x)$。
(1) $2a^{3}-8a$；
(2) $x^{4}-16$；
(3) $(a+b)^{2}-4b^{2}$；
(4) $9x^{2}-16(a+b)^{2}$；
(5) $\frac{1}{2}x^{4}y^{2}-\frac{1}{8}x^{2}y^{4}$；
(6) $81a^{5}b^{5}-ab$；
(7) $(x+y)^{3}(x-y)-(x+y)(x-y)^{3}$；
(8) $25(x-2y)^{3}+4(2y-x)$。
答案：
$(1)$ 对$2a^{3}-8a$因式分解
解：
$\begin{aligned}2a^{3}-8a&=2a(a^{2}-4)\\&=2a(a^{2}-2^{2})\\&=2a(a + 2)(a - 2)\end{aligned}$
$(2)$ 对$x^{4}-16$因式分解
解：
$\begin{aligned}x^{4}-16&=(x^{2})^{2}-4^{2}\\&=(x^{2}+4)(x^{2}-4)\\&=(x^{2}+4)(x^{2}-2^{2})\\&=(x^{2}+4)(x + 2)(x - 2)\end{aligned}$
$(3)$ 对$(a + b)^{2}-4b^{2}$因式分解
解：
$\begin{aligned}(a + b)^{2}-4b^{2}&=(a + b)^{2}-(2b)^{2}\\&=(a + b + 2b)(a + b - 2b)\\&=(a + 3b)(a - b)\end{aligned}$
$(4)$ 对$9x^{2}-16(a + b)^{2}$因式分解
解：
$\begin{aligned}9x^{2}-16(a + b)^{2}&=(3x)^{2}-[4(a + b)]^{2}\\&=[3x+4(a + b)][3x-4(a + b)]\\&=(3x + 4a + 4b)(3x - 4a - 4b)\end{aligned}$
$(5)$ 对$\frac{1}{2}x^{4}y^{2}-\frac{1}{8}x^{2}y^{4}$因式分解
解：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x^{4}y^{2}-\frac{1}{8}x^{2}y^{4}&=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}(x^{2}-\frac{1}{4}y^{2})\\&=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}(x^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2})\\&=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}(x+\frac{1}{2}y)(x - \frac{1}{2}y)\end{aligned}$
$(6)$ 对$81a^{5}b^{5}-ab$因式分解
解：
$\begin{aligned}81a^{5}b^{5}-ab&=ab(81a^{4}b^{4}-1)\\&=ab[(9a^{2}b^{2})^{2}-1^{2}]\\&=ab(9a^{2}b^{2}+1)(9a^{2}b^{2}-1)\\&=ab(9a^{2}b^{2}+1)(3ab + 1)(3ab - 1)\end{aligned}$
$(7)$ 对$(x + y)^{3}(x - y)-(x + y)(x - y)^{3}$因式分解
解：
$\begin{aligned}&(x + y)^{3}(x - y)-(x + y)(x - y)^{3}\\=&(x + y)(x - y)[(x + y)^{2}-(x - y)^{2}]\\=&(x + y)(x - y)[(x + y+x - y)(x + y-(x - y))]\\=&(x + y)(x - y)(2x\cdot2y)\\=&4xy(x + y)(x - y)\end{aligned}$
$(8)$ 对$25(x - 2y)^{3}+4(2y - x)$因式分解
解：
$\begin{aligned}25(x - 2y)^{3}+4(2y - x)&=25(x - 2y)^{3}-4(x - 2y)\\&=(x - 2y)[25(x - 2y)^{2}-4]\\&=(x - 2y)[(5(x - 2y))^{2}-2^{2}]\\&=(x - 2y)(5x - 10y + 2)(5x - 10y - 2)\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{2a(a + 2)(a - 2)}$；$(2)\boldsymbol{(x^{2}+4)(x + 2)(x - 2)}$；$(3)\boldsymbol{(a + 3b)(a - b)}$；$(4)\boldsymbol{(3x + 4a + 4b)(3x - 4a - 4b)}$；$(5)\boldsymbol{\frac{1}{2}x^{2}y^{2}(x+\frac{1}{2}y)(x - \frac{1}{2}y)}$；$(6)\boldsymbol{ab(9a^{2}b^{2}+1)(3ab + 1)(3ab - 1)}$；$(7)\boldsymbol{4xy(x + y)(x - y)}$；$(8)\boldsymbol{(x - 2y)(5x - 10y + 2)(5x - 10y - 2)}$。
解：
$\begin{aligned}2a^{3}-8a&=2a(a^{2}-4)\\&=2a(a^{2}-2^{2})\\&=2a(a + 2)(a - 2)\end{aligned}$
$(2)$ 对$x^{4}-16$因式分解
解：
$\begin{aligned}x^{4}-16&=(x^{2})^{2}-4^{2}\\&=(x^{2}+4)(x^{2}-4)\\&=(x^{2}+4)(x^{2}-2^{2})\\&=(x^{2}+4)(x + 2)(x - 2)\end{aligned}$
$(3)$ 对$(a + b)^{2}-4b^{2}$因式分解
解：
$\begin{aligned}(a + b)^{2}-4b^{2}&=(a + b)^{2}-(2b)^{2}\\&=(a + b + 2b)(a + b - 2b)\\&=(a + 3b)(a - b)\end{aligned}$
$(4)$ 对$9x^{2}-16(a + b)^{2}$因式分解
解：
$\begin{aligned}9x^{2}-16(a + b)^{2}&=(3x)^{2}-[4(a + b)]^{2}\\&=[3x+4(a + b)][3x-4(a + b)]\\&=(3x + 4a + 4b)(3x - 4a - 4b)\end{aligned}$
$(5)$ 对$\frac{1}{2}x^{4}y^{2}-\frac{1}{8}x^{2}y^{4}$因式分解
解：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x^{4}y^{2}-\frac{1}{8}x^{2}y^{4}&=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}(x^{2}-\frac{1}{4}y^{2})\\&=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}(x^{2}-(\frac{1}{2}y)^{2})\\&=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}(x+\frac{1}{2}y)(x - \frac{1}{2}y)\end{aligned}$
$(6)$ 对$81a^{5}b^{5}-ab$因式分解
解：
$\begin{aligned}81a^{5}b^{5}-ab&=ab(81a^{4}b^{4}-1)\\&=ab[(9a^{2}b^{2})^{2}-1^{2}]\\&=ab(9a^{2}b^{2}+1)(9a^{2}b^{2}-1)\\&=ab(9a^{2}b^{2}+1)(3ab + 1)(3ab - 1)\end{aligned}$
$(7)$ 对$(x + y)^{3}(x - y)-(x + y)(x - y)^{3}$因式分解
解：
$\begin{aligned}&(x + y)^{3}(x - y)-(x + y)(x - y)^{3}\\=&(x + y)(x - y)[(x + y)^{2}-(x - y)^{2}]\\=&(x + y)(x - y)[(x + y+x - y)(x + y-(x - y))]\\=&(x + y)(x - y)(2x\cdot2y)\\=&4xy(x + y)(x - y)\end{aligned}$
$(8)$ 对$25(x - 2y)^{3}+4(2y - x)$因式分解
解：
$\begin{aligned}25(x - 2y)^{3}+4(2y - x)&=25(x - 2y)^{3}-4(x - 2y)\\&=(x - 2y)[25(x - 2y)^{2}-4]\\&=(x - 2y)[(5(x - 2y))^{2}-2^{2}]\\&=(x - 2y)(5x - 10y + 2)(5x - 10y - 2)\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{2a(a + 2)(a - 2)}$；$(2)\boldsymbol{(x^{2}+4)(x + 2)(x - 2)}$；$(3)\boldsymbol{(a + 3b)(a - b)}$；$(4)\boldsymbol{(3x + 4a + 4b)(3x - 4a - 4b)}$；$(5)\boldsymbol{\frac{1}{2}x^{2}y^{2}(x+\frac{1}{2}y)(x - \frac{1}{2}y)}$；$(6)\boldsymbol{ab(9a^{2}b^{2}+1)(3ab + 1)(3ab - 1)}$；$(7)\boldsymbol{4xy(x + y)(x - y)}$；$(8)\boldsymbol{(x - 2y)(5x - 10y + 2)(5x - 10y - 2)}$。
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