《2025年练习部分七年级数学上册沪教版五四制》

5. (1) 利用因式分解计算：
① $1-\frac{1}{2^{2}}=$$\frac{3}{4}$；
② $(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})=$$\frac{2}{3}$；
③ $(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})=$$\frac{5}{8}$。
(2) 根据上述计算方法,猜想：
$(1-\frac{1}{2^{2}})×(1-\frac{1}{3^{2}})×(1-\frac{1}{4^{2}})×…×(1-\frac{1}{n^{2}})=$$\frac{n+1}{2n}$,
并说明理由。
理由如下：原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×\cdots×(1-\frac{1}{n})×(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\cdots×\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}×\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$．

答案： （1）①$\frac{3}{4}$．②$\frac{2}{3}$．③$\frac{5}{8}$．（2）$\frac{n+1}{2n}$．理由如下：原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{3})×\cdots×(1-\frac{1}{n})×(1+\frac{1}{n})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\cdots×\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}×\frac{n+1}{n}=\frac{n+1}{2n}$．

1. 现有下列整式：
① $x^{2}+x + 1$； ② $x^{2}-2x + 1$； ③ $x^{2}+2x + 4$； ④ $x^{2}-4x + 4$.
其中能用完全平方公式进行因式分解的有②④.(填序号)

答案： ②④.

2. 因式分解：
(1)$a^{2}-6ab + 9b^{2}=$$(a-3b)^{2}$；
(2)$16 + 24m + 9m^{2}=$$(4+3m)^{2}$；
(3)$a^{2}b^{2}-ab+\frac{1}{4}=$$\left(ab-\frac{1}{2}\right)^{2}$；
(4)$49x^{2}-14xy + y^{2}=$$(7x-y)^{2}$；
(5)$\frac{1}{9}+\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{4}x^{4}=$$\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}x^{2}\right)^{2}$；
(6)$25a^{2}-20ab + 4b^{2}=$$(5a-2b)^{2}$.

答案： （1）$(a-3b)^{2}$. （2）$(4+3m)^{2}$. （3）$\left(ab-\frac{1}{2}\right)^{2}$. （4）$(7x-y)^{2}$.（5）$\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}x^{2}\right)^{2}$. （6）$(5a-2b)^{2}$.