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4. 将下列各式表示成不含分母的形式：
(1) $ - \dfrac { 2 x } { c ^ { 2 } } $； (2) $ \dfrac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $；
(3) $ \dfrac { ( x + y ) ^ { 2 } } { 5 x y } $； (4) $ - \dfrac { x } { 4 a ^ { 2 } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } $.
(1) $ - \dfrac { 2 x } { c ^ { 2 } } $； (2) $ \dfrac { 2 x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $；
(3) $ \dfrac { ( x + y ) ^ { 2 } } { 5 x y } $； (4) $ - \dfrac { x } { 4 a ^ { 2 } ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) } $.
答案：
1. （1）
根据负整数指数幂公式$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}(a\neq0,n\in N^{*})$，对于$-\frac{2x}{c^{2}}$，$c^{2}$的倒数可表示为$c^{-2}$。
所以$-\frac{2x}{c^{2}}=-2xc^{-2}$。
2. （2）
对于$\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}$，$(x^{2}+y^{2})$的倒数可表示为$(x^{2}+y^{2})^{-1}$。
所以$\frac{2x}{x^{2}+y^{2}} = 2x(x^{2}+y^{2})^{-1}$。
3. （3）
对于$\frac{(x + y)^{2}}{5xy}$，$5xy$的倒数可表示为$5^{-1}x^{-1}y^{-1}$。
所以$\frac{(x + y)^{2}}{5xy}=5^{-1}(x + y)^{2}x^{-1}y^{-1}$。
4. （4）
对于$-\frac{x}{4a^{2}(a^{2}+b^{2})}$，$4a^{2}(a^{2}+b^{2})$的倒数可表示为$4^{-1}a^{-2}(a^{2}+b^{2})^{-1}$。
所以$-\frac{x}{4a^{2}(a^{2}+b^{2})}=-4^{-1}a^{-2}(a^{2}+b^{2})^{-1}x$。
综上，答案依次为：（1）$-2xc^{-2}$；（2）$2x(x^{2}+y^{2})^{-1}$；（3）$5^{-1}(x + y)^{2}x^{-1}y^{-1}$；（4）$-4^{-1}a^{-2}(a^{2}+b^{2})^{-1}x$。
根据负整数指数幂公式$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}(a\neq0,n\in N^{*})$，对于$-\frac{2x}{c^{2}}$，$c^{2}$的倒数可表示为$c^{-2}$。
所以$-\frac{2x}{c^{2}}=-2xc^{-2}$。
2. （2）
对于$\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}$，$(x^{2}+y^{2})$的倒数可表示为$(x^{2}+y^{2})^{-1}$。
所以$\frac{2x}{x^{2}+y^{2}} = 2x(x^{2}+y^{2})^{-1}$。
3. （3）
对于$\frac{(x + y)^{2}}{5xy}$，$5xy$的倒数可表示为$5^{-1}x^{-1}y^{-1}$。
所以$\frac{(x + y)^{2}}{5xy}=5^{-1}(x + y)^{2}x^{-1}y^{-1}$。
4. （4）
对于$-\frac{x}{4a^{2}(a^{2}+b^{2})}$，$4a^{2}(a^{2}+b^{2})$的倒数可表示为$4^{-1}a^{-2}(a^{2}+b^{2})^{-1}$。
所以$-\frac{x}{4a^{2}(a^{2}+b^{2})}=-4^{-1}a^{-2}(a^{2}+b^{2})^{-1}x$。
综上，答案依次为：（1）$-2xc^{-2}$；（2）$2x(x^{2}+y^{2})^{-1}$；（3）$5^{-1}(x + y)^{2}x^{-1}y^{-1}$；（4）$-4^{-1}a^{-2}(a^{2}+b^{2})^{-1}x$。
5. 计算：
(1) $ ( - a ^ { - 3 } ) ^ { 2 } · ( - a ^ { 4 } ) ^ { - 3 } $； (2) $ ( 3 a b ^ { 2 } ) ^ { 3 } · ( 2 a b ) ^ { - 2 } $；
(3) $ ( 4 x ^ { 2 } ) ^ { - 3 } + ( 8 x ^ { 3 } ) ^ { - 2 } $； (4) $ x ^ { - 1 } y ^ { - 1 } ÷ ( x ^ { - 1 } - y ^ { - 1 } ) $；
(5) $ \dfrac { x ^ { - 1 } + y ^ { - 1 } } { x ^ { - 1 } - y ^ { - 1 } } $； (6) $ \left( \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 x } \right) ^ { - 2 } ÷ \left( \dfrac { 3 x } { y } \right) ^ { 2 } $.
(1) $ ( - a ^ { - 3 } ) ^ { 2 } · ( - a ^ { 4 } ) ^ { - 3 } $； (2) $ ( 3 a b ^ { 2 } ) ^ { 3 } · ( 2 a b ) ^ { - 2 } $；
(3) $ ( 4 x ^ { 2 } ) ^ { - 3 } + ( 8 x ^ { 3 } ) ^ { - 2 } $； (4) $ x ^ { - 1 } y ^ { - 1 } ÷ ( x ^ { - 1 } - y ^ { - 1 } ) $；
(5) $ \dfrac { x ^ { - 1 } + y ^ { - 1 } } { x ^ { - 1 } - y ^ { - 1 } } $； (6) $ \left( \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 x } \right) ^ { - 2 } ÷ \left( \dfrac { 3 x } { y } \right) ^ { 2 } $.
答案：
(1) $(-a^{-3})^{2} · (-a^{4})^{-3} = a^{-6} · (-a^{-12}) = -a^{-18} = -\dfrac{1}{a^{18}}$
(2) $(3ab^{2})^{3} · (2ab)^{-2} = 27a^{3}b^{6} · \dfrac{1}{4}a^{-2}b^{-2} = \dfrac{27}{4}ab^{4}$
(3) $(4x^{2})^{-3} + (8x^{3})^{-2} = \dfrac{1}{64}x^{-6} + \dfrac{1}{64}x^{-6} = \dfrac{2}{64}x^{-6} = \dfrac{1}{32x^{6}}$
(4) $x^{-1}y^{-1} ÷ (x^{-1} - y^{-1}) = \dfrac{1}{xy} ÷ \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} \right) = \dfrac{1}{xy} ÷ \dfrac{y - x}{xy} = \dfrac{1}{y - x}$
(5) $\dfrac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}} = \dfrac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} = \dfrac{\dfrac{y + x}{xy}}{\dfrac{y - x}{xy}} = \dfrac{x + y}{y - x}$
(6) $\left( \dfrac{y^{2}}{2x} \right)^{-2} ÷ \left( \dfrac{3x}{y} \right)^{2} = \left( \dfrac{2x}{y^{2}} \right)^{2} ÷ \dfrac{9x^{2}}{y^{2}} = \dfrac{4x^{2}}{y^{4}} · \dfrac{y^{2}}{9x^{2}} = \dfrac{4}{9y^{2}}$
(1) $(-a^{-3})^{2} · (-a^{4})^{-3} = a^{-6} · (-a^{-12}) = -a^{-18} = -\dfrac{1}{a^{18}}$
(2) $(3ab^{2})^{3} · (2ab)^{-2} = 27a^{3}b^{6} · \dfrac{1}{4}a^{-2}b^{-2} = \dfrac{27}{4}ab^{4}$
(3) $(4x^{2})^{-3} + (8x^{3})^{-2} = \dfrac{1}{64}x^{-6} + \dfrac{1}{64}x^{-6} = \dfrac{2}{64}x^{-6} = \dfrac{1}{32x^{6}}$
(4) $x^{-1}y^{-1} ÷ (x^{-1} - y^{-1}) = \dfrac{1}{xy} ÷ \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} \right) = \dfrac{1}{xy} ÷ \dfrac{y - x}{xy} = \dfrac{1}{y - x}$
(5) $\dfrac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}} = \dfrac{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y}} = \dfrac{\dfrac{y + x}{xy}}{\dfrac{y - x}{xy}} = \dfrac{x + y}{y - x}$
(6) $\left( \dfrac{y^{2}}{2x} \right)^{-2} ÷ \left( \dfrac{3x}{y} \right)^{2} = \left( \dfrac{2x}{y^{2}} \right)^{2} ÷ \dfrac{9x^{2}}{y^{2}} = \dfrac{4x^{2}}{y^{4}} · \dfrac{y^{2}}{9x^{2}} = \dfrac{4}{9y^{2}}$
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