《2025年练习部分七年级数学上册沪教版五四制》

3. 因式分解：
(1)$3a^{3}-12a^{2}+12a$； (2)$-9 - 6ab - a^{2}b^{2}$；
(3)$\frac{1}{4}m^{3}n-\frac{1}{4}m^{2}n^{2}+\frac{1}{16}mn^{3}$； (4)$a^{4}-2a^{2}+1$；
(5)$(x - 2y)^{2}+12(x - 2y)+36$；
(6)$(a + 2b)^{2}+2(a + 2b)(2a + b)+(2a + b)^{2}$.

答案： 1. （1）
解：
首先提取公因式$3a$：
$3a^{3}-12a^{2}+12a = 3a(a^{2}-4a + 4)$。
然后根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$（这里$m = a$，$n = 2$）：
$3a(a^{2}-4a + 4)=3a(a - 2)^{2}$。
2. （2）
解：
先提出负号：
$-9-6ab - a^{2}b^{2}=-(a^{2}b^{2}+6ab + 9)$。
再根据完全平方公式$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$（这里$m = ab$，$n = 3$）：
$-(a^{2}b^{2}+6ab + 9)=-(ab + 3)^{2}$。
3. （3）
解：
首先提取公因式$\frac{1}{4}mn$：
$\frac{1}{4}m^{3}n-\frac{1}{4}m^{2}n^{2}+\frac{1}{16}mn^{3}=\frac{1}{4}mn(m^{2}-mn+\frac{1}{4}n^{2})$。
然后根据完全平方公式$(m-\frac{1}{2}n)^2=m^{2}-mn+\frac{1}{4}n^{2}$：
$\frac{1}{4}mn(m^{2}-mn+\frac{1}{4}n^{2})=\frac{1}{4}mn(m - \frac{1}{2}n)^{2}$。
4. （4）
解：
先根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$（这里$m = a^{2}$，$n = 1$）：
$a^{4}-2a^{2}+1=(a^{2}-1)^{2}$。
再根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$（这里$m = a$，$n = 1$）：
$(a^{2}-1)^{2}=[(a + 1)(a - 1)]^{2}=(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$。
5. （5）
解：
把$(x - 2y)$看成一个整体，设$m=x - 2y$，则原式为$m^{2}+12m + 36$。
根据完全平方公式$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$（这里$m=m$，$n = 6$）：
$m^{2}+12m + 36=(m + 6)^{2}$。
再把$m=x - 2y$代回：
$(x - 2y)^{2}+12(x - 2y)+36=(x - 2y + 6)^{2}$。
6. （6）
解：
把$(a + 2b)$和$(2a + b)$看成一个整体，设$m=a + 2b$，$n=2a + b$，则原式为$m^{2}+2mn + n^{2}$。
根据完全平方公式$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$：
$m^{2}+2mn + n^{2}=(m + n)^{2}$。
再把$m=a + 2b$，$n=2a + b$代回：
$(a + 2b)^{2}+2(a + 2b)(2a + b)+(2a + b)^{2}=[(a + 2b)+(2a + b)]^{2}=(3a + 3b)^{2}=9(a + b)^{2}$。
综上，答案依次为：（1）$3a(a - 2)^{2}$；（2）$-(ab + 3)^{2}$；（3）$\frac{1}{4}mn(m-\frac{1}{2}n)^{2}$；（4）$(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$；（5）$(x - 2y + 6)^{2}$；（6）$9(a + b)^{2}$。