《2025年一本计算题满分训练七年级数学全一册人教版》

解下列二元一次方程组:
(1)$\left\{\begin{array}{l} 3x+4y= 16,\\ 5x-6y= 33;\end{array} \right. $
(2)$\left\{\begin{array}{l} x+4y= 14,\\ \frac {x-3}{4}-\frac {y-3}{3}= \frac {1}{12};\end{array} \right. $
(3)$\left\{\begin{array}{l} 2x+y= 1.5,\\ 0.8x+0.6y= 1.3;\end{array} \right. $
(4)$\left\{\begin{array}{l} 3(x+1)+2(y-1)= 0,\\ \frac {2x+1}{3}= -\frac {1}{2}y;\end{array} \right. $
(5)$\left\{\begin{array}{l} 5(x-9)-6(y-2)= 0,\\ \frac {x}{4}-\frac {y+1}{3}= 2;\end{array} \right. $
(6)$\left\{\begin{array}{l} \frac {3(x+y)}{5}-\frac {2x-y}{4}= 2,\\ x-2y= -1;\end{array} \right. $
(7)【一题多解】$\left\{\begin{array}{l} \frac {2(x+y)}{3}-\frac {x-y}{4}= \frac {7}{4},\\ 3(x-y)-2(x+y)= -3;\end{array} \right. $
(8)$\left\{\begin{array}{l} \frac {2x-1}{5}+\frac {0.3y-0.2}{0.4}= 2,\\ \frac {3x+1}{5}-\frac {0.03y+0.02}{0.04}= 0.\end{array} \right. $

答案： $(1)$
解：
给$3x + 4y = 16$两边同时乘以$3$，得到$9x + 12y = 48$ ①；
给$5x - 6y = 33$两边同时乘以$2$，得到$10x - 12y = 66$ ②；
①$+$②得：$9x + 12y + 10x - 12y = 48 + 66$，即$19x = 114$，解得$x = 6$。
把$x = 6$代入$3x + 4y = 16$，得$3×6 + 4y = 16$，$18 + 4y = 16$，$4y = -2$，解得$y = -\frac{1}{2}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 6 \\ y = -\frac{1}{2} \end{cases}$。
$(2)$
解：
由$\frac{x - 3}{4}-\frac{y - 3}{3}=\frac{1}{12}$，等式两边同时乘以$12$得：$3(x - 3)-4(y - 3)=1$，展开得$3x - 9 - 4y + 12 = 1$，即$3x - 4y = -2$ ①；
已知$x + 4y = 14$ ②；
①$+$②得：$3x - 4y + x + 4y = -2 + 14$，$4x = 12$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入$x + 4y = 14$，得$3 + 4y = 14$，$4y = 11$，解得$y = \frac{11}{4}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = \frac{11}{4} \end{cases}$。
$(3)$
解：
由$2x + y = 1.5$得$y = 1.5 - 2x$ ①；
把①代入$0.8x + 0.6y = 1.3$，得$0.8x + 0.6(1.5 - 2x)=1.3$，
$0.8x + 0.9 - 1.2x = 1.3$，$-0.4x = 0.4$，解得$x = -1$。
把$x = -1$代入①得$y = 1.5 - 2×(-1)=3.5$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -1 \\ y = 3.5 \end{cases}$。
$(4)$
解：
由$3(x + 1)+2(y - 1)=0$，展开得$3x + 3 + 2y - 2 = 0$，即$3x + 2y = -1$ ①；
由$\frac{2x + 1}{3}=-\frac{1}{2}y$，等式两边同时乘以$6$得$2(2x + 1)= - 3y$，即$4x + 3y = -2$ ②；
①$×3 -$②$×2$得：$3(3x + 2y)-2(4x + 3y)=-1×3 - (-2)×2$，
$9x + 6y - 8x - 6y = -3 + 4$，$x = 1$。
把$x = 1$代入①得$3×1 + 2y = -1$，$2y = -4$，解得$y = -2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1 \\ y = -2 \end{cases}$。
$(5)$
解：
由$5(x - 9)-6(y - 2)=0$，展开得$5x - 45 - 6y + 12 = 0$，即$5x - 6y = 33$ ①；
由$\frac{x}{4}-\frac{y + 1}{3}=2$，等式两边同时乘以$12$得$3x - 4(y + 1)=24$，展开得$3x - 4y = 28$ ②；
①$×2 -$②$×3$得：$2(5x - 6y)-3(3x - 4y)=33×2 - 28×3$，
$10x - 12y - 9x + 12y = 66 - 84$，$x = -18$。
把$x = -18$代入①得$5×(-18)-6y = 33$，$-90 - 6y = 33$，$6y = -123$，解得$y = -\frac{41}{2}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = -18 \\ y = -\frac{41}{2} \end{cases}$。
$(6)$
解：
由$\frac{3(x + y)}{5}-\frac{2x - y}{4}=2$，等式两边同时乘以$20$得$12(x + y)-5(2x - y)=40$，展开得$12x + 12y - 10x + 5y = 40$，即$2x + 17y = 40$ ①；
已知$x - 2y = -1$，则$x = 2y - 1$ ②；
把②代入①得$2(2y - 1)+17y = 40$，
$4y - 2 + 17y = 40$，$21y = 42$，解得$y = 2$。
把$y = 2$代入②得$x = 2×2 - 1 = 3$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$。
$(7)$
解法一：代入消元法
由$3(x - y)-2(x + y)= -3$，展开得$3x - 3y - 2x - 2y = -3$，即$x - 5y = -3$，$x = 5y - 3$ ①；
把①代入$\frac{2(x + y)}{3}-\frac{x - y}{4}=\frac{7}{4}$，
$\frac{2(5y - 3 + y)}{3}-\frac{5y - 3 - y}{4}=\frac{7}{4}$，
$\frac{12y - 6}{3}-\frac{4y - 3}{4}=\frac{7}{4}$，
$4(12y - 6)-3(4y - 3)=21$，
$48y - 24 - 12y + 9 = 21$，
$36y = 36$，解得$y = 1$。
把$y = 1$代入①得$x = 5×1 - 3 = 2$。
解法二：换元法
设$m = x + y$，$n = x - y$，则原方程组变为$\begin{cases}\frac{2m}{3}-\frac{n}{4}=\frac{7}{4} \\ 3n - 2m = -3 \end{cases}$
由$\frac{2m}{3}-\frac{n}{4}=\frac{7}{4}$，等式两边同时乘以$12$得$8m - 3n = 21$ ①；
$3n - 2m = -3$ ②；
①$+$②得$8m - 3n + 3n - 2m = 21 - 3$，$6m = 18$，解得$m = 3$。
把$m = 3$代入②得$3n - 2×3 = -3$，$3n = 3$，解得$n = 1$。
即$\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$，两式相加得$2x = 4$，$x = 2$，把$x = 2$代入$x + y = 3$得$y = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$。
$(8)$
解：
由$\frac{2x - 1}{5}+\frac{0.3y - 0.2}{0.4}=2$，等式两边同时乘以$20$得$4(2x - 1)+50(0.3y - 0.2)=40$，展开得$8x - 4 + 15y - 10 = 40$，即$8x + 15y = 54$ ①；
由$\frac{3x + 1}{5}-\frac{0.03y + 0.02}{0.04}=0$，等式两边同时乘以$100$得$20(3x + 1)-25(3y + 2)=0$，展开得$60x + 20 - 75y - 50 = 0$，即$4x - 5y = 2$ ②；
②$×3 +$①得：$3(4x - 5y)+8x + 15y = 2×3 + 54$，
$12x - 15y + 8x + 15y = 6 + 54$，$20x = 60$，解得$x = 3$。
把$x = 3$代入②得$4×3 - 5y = 2$，$12 - 5y = 2$，$5y = 10$，解得$y = 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$。