《2025年一本计算题满分训练七年级数学全一册人教版》

1.为了计算$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{9}+2^{10}$的值,我们采用如下的方法:
设$S= 1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+... +2^{9}+2^{10}$,①
则$2S= 2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+... +2^{10}+2^{11}$.②
由②-①,得$S= 2^{11}-1$.
请你仿照此法计算下列各题:
(1)求$1+3+3^{2}+3^{3}+... +3^{2024}$的值;
(2)求$1+\frac {1}{3}+(\frac {1}{3})^{2}+(\frac {1}{3})^{3}+(\frac {1}{3})^{4}+... +(\frac {1}{3})^{m}$的值.(其中m为正整数)

答案： 1.
(1)$\frac{3^{2025}-1}{2}$
(2)$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{3}\right)^m$

2.我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记为$S_{n}$,那么有:
$S_{1}= 1^{3}= 1^{2}= [\frac {1×(1+1)}{2}]^{2}$;
$S_{2}= 1^{3}+2^{3}= (1+2)^{2}= [\frac {2×(1+2)}{2}]^{2}$;
$S_{3}= 1^{3}+2^{3}+3^{3}= (1+2+3)^{2}= [\frac {3×(1+3)}{2}]^{2}$;
$S_{4}= 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}= (1+2+3+4)^{2}= [\frac {4×(1+4)}{2}]^{2}$;
……
观察上面的规律,完成下面各题:
(1)写出$S_{5},S_{6}$;
(2)求$11^{3}+12^{3}+... +20^{3}$的值.

答案： 2.
(1)$S_5=\left[\frac{5×(1+5)}{2}\right]^2$,$S_6=\left[\frac{6×(1+6)}{2}\right]^2$
(2)41075