《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

1. 如图,AB 是⊙O 直径,弦 CD⊥AB 于点 E,过点 C 作 DB 的垂线,交 AB 的延长线于点 G,垂足为 F,连接 AC.

(1)求证:AC= CG;
(2)若 CD= EG= 8,求⊙O 的半径.

答案：
1.
(1)
∵DF⊥CG,CD⊥AB,
∴∠DEB=∠BFG=90°.
∵∠DBE=∠GBF,
∴∠D=∠G.
∵∠A=∠D,
∴∠A=∠G,
∴AC=CG.
(2)如图,连接OC,设⊙O的半径为r.
∵AC=CG,CD⊥AB,
∴AE=EG=8,EC=ED=4,
∴OE=AE−OA=8−r.
　
　在Rt△OEC中,
∵OC²=OE²+EC²,
∴r²=(8−r)²+4²,解得r=5,
∴⊙O的半径为5.
　归纳总结　本题考查了垂径定理，在圆中半径、弦长和弦心距的计算一般就是转化为直角三角形的计算，利用勾股定理列方程求解，或是在含特殊角的直角三角形中求解.

2. (2023·北京中考)如图,圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 E,BD 平分∠ABC,∠BAC= ∠ADB.
(1)求证 DB 平分∠ADC,并求∠BAD 的大小;
(2)过点 C 作 CF//AD 交 AB 的延长线于点 F,若 AC= AD,BF= 2,求此圆半径的长.

答案： 2.
(1)
∵∠BAC=∠ADB、∠BAC=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB,
∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°,
∴∠ABD+∠ADB=90°,
∴∠BAD=180°−90°=90°.
(2)
∵∠BAE+∠DAE=90°,∠BAE=∠ADE,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠AED=90°.
∵∠BAD=90°,
∴BD是圆的直径,
∴BD垂直平分AC,
∴AD=CD.
∵AC=AD,
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°.
∵BD⊥AC,
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠ADC=30°.
∵CF//AD,
∴∠F+∠BAD=180°,
∴∠F=90°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠FBC+∠ABC=180°,
∴∠FBC=∠ADC=60°,
∴BC=2BF=4.
∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,
∴BC=$\frac{1}{2}$BD.
∵BD是圆的直径,
∴圆的半径长是4.
　方法诠释　本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB=90°,由垂径定理推出△ACD是等边三角形.

3. 如图,AB 是⊙O 的直径,P、C 是圆周上的点,$\widehat{PA}= \widehat{PC}$,弦 PC 交 AB 于点 D.
(1)求证:∠A= ∠C;
(2)若 OD= DC,求∠A 的度数.

答案： 3.
(1)连接OP.
∵PA=PC,
　在△POA与△POC中,OA=OC,OP=OP,
∴△POA≌△POC(SSS).
∴∠A=∠C.
(2)设∠A=∠C=x,则∠POB=2∠A=2x.
∵OD=DC,
∴∠DOC=∠C=x.
∵OP=OC,
∴∠OPC=∠C=x.
∴在△POC中,x+3x+x=180°,
　解得x=36°,即∠A=36°.

4. 如图,已知直线 l 切⊙O 于点 A,B 为⊙O 上一点,过点 B 作 BC⊥l,垂足为 C,连接 AB、OB.
(1)求证:∠ABC= ∠ABO;
(2)若$AB= \sqrt{10}$,AC= 1,求⊙O 的半径.

答案： 4.
(1)连接OA.
∵OB=OA,
∴∠OBA=∠OAB.
∵AC切⊙O于点A,
∴OA⊥AC.
∵BC⊥AC,
∴OA//BC,
∴∠OAB=∠ABC,
∴∠ABC=∠ABO.
(2)设⊙O的半径为r,过点O作OD⊥BC于点D.
∵OD⊥BC,BC⊥AC,OA⊥AC,
∴∠ODC=∠DCA=∠OAC=90°,
∴OA=CD,OD=AC=1.
　在Rt△ACB中,AB=$\sqrt{10}$,AC=1,
　由勾股定理,得BC=$\sqrt{(\sqrt{10})^2 - 1^2}$ = 3.
∴BD=BC−CD=3−r.
　在Rt△ODB中,由勾股定理,得r²=(3−r)²+1²,
　解得r=$\frac{5}{3}$,即⊙O的半径是$\frac{5}{3}$.