《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

【例1】(“时代杯”江苏数学应用与创新邀请赛初赛)已知关于x的方程$(a-1)x^{2}-4x-1+2a= 0的一个根为x= 3.$
(1)求a的值及方程的另一个根；
(2)如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长.
解析：第(1)题要运用方程的根的定义来解决,第(2)题因为方程有两个不相等的根,所以要分类讨论,对每一种情形要关注三角形三边的关系——任意两边之和大于第三边.
答案：(1)由题设,得$9(a-1)-4×3-1+2a= 0$,解得$a= 2$.所以原方程为$x^{2}-4x+3= 0$,它的另一个根是1.
(2)由题设知,三角形的三边中至少有两条边相等,则有下列两种情形：
①三边相等,边长为1、1、1或3、3、3,那么三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等,因为$1+1= 2＜3$,所以三角形的边长只能为3、3、1.那么三角形的周长是7.
由①②知,三角形的周长可以是3、7或9.

答案：
(1)解：将$x = 3$代入方程$(a - 1)x^2 - 4x - 1 + 2a = 0$，得$9(a - 1)-4×3 - 1 + 2a=0$，解得$a = 2$。原方程为$x^2 - 4x + 3 = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0$，所以另一个根是$1$。
(2)解：方程的根为$1$和$3$。
①三边均为$1$，周长为$1 + 1 + 1=3$；
②三边均为$3$，周长为$3 + 3 + 3=9$；
③两边为$3$，一边为$1$，$3 + 3＞1$，$3 + 1＞3$，周长为$3 + 3 + 1=7$；
④两边为$1$，一边为$3$，$1 + 1=2＜3$，不能构成三角形。
综上，三角形周长为$3$、$7$或$9$。

【例2】(江苏数学竞赛)设$x_{1}$、$x_{2}是方程2x^{2}-4mx+2m^{2}+3m-2= 0$的两个实根,当m为何值时,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$有最小值？并求这个最小值.
解析：对于方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$,$x_{1}$、$x_{2}$是此方程的两个实根,则$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}$.
答案：由题意知方程有实根,即$\Delta \geq 0$,则$-24m+16\geq 0$,解得$m\leq \frac {2}{3}$.
又由根与系数关系,得$x_{1}+x_{2}= 2m$,$x_{1}x_{2}= m^{2}+\frac {3}{2}m-1$,则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2(\frac {3}{4}-m)^{2}+\frac {7}{8}$.
$\because m\leq \frac {2}{3}$,$\therefore \frac {3}{4}-m\geq \frac {3}{4}-\frac {2}{3}＞0$.
从而$(\frac {3}{4}-m)^{2}\geq (\frac {3}{4}-\frac {2}{3})^{2}$.
于是,当$m= \frac {2}{3}$时,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$取得最小值,且最小值为$2×(\frac {3}{4}-\frac {2}{3})^{2}+\frac {7}{8}= \frac {8}{9}$.

答案： 解：方程$2x^{2}-4mx+2m^{2}+3m-2=0$有两个实根，
$\Delta=(-4m)^{2}-4×2×(2m^{2}+3m-2)=16m^{2}-8(2m^{2}+3m-2)=16m^{2}-16m^{2}-24m+16=-24m+16\geq0$，
解得$m\leq\frac{2}{3}$。
由根与系数关系，得$x_{1}+x_{2}=2m$，$x_{1}x_{2}=\frac{2m^{2}+3m-2}{2}=m^{2}+\frac{3}{2}m-1$。
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(2m)^{2}-2(m^{2}+\frac{3}{2}m-1)=4m^{2}-2m^{2}-3m+2=2m^{2}-3m+2$。
$2m^{2}-3m+2=2\left(m^{2}-\frac{3}{2}m\right)+2=2\left(m^{2}-\frac{3}{2}m+\frac{9}{16}-\frac{9}{16}\right)+2=2\left(m-\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{8}+2=2\left(m-\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{7}{8}$。
$\because m\leq\frac{2}{3}$，抛物线开口向上，对称轴为$m=\frac{3}{4}$，
$\therefore$当$m=\frac{2}{3}$时，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$取得最小值，
最小值为$2\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{7}{8}=2\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}+\frac{7}{8}=2×\frac{1}{144}+\frac{7}{8}=\frac{1}{72}+\frac{63}{72}=\frac{64}{72}=\frac{8}{9}$。
答：当$m=\frac{2}{3}$时，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$有最小值，最小值为$\frac{8}{9}$。

1.(无锡江阴南菁中学自主招生)已知三个关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$,$bx^{2}+cx+a= 0$,$cx^{2}+ax+b= 0$恰有一个公共实数根,则$\frac {a^{2}}{bc}+\frac {b^{2}}{ca}+\frac {c^{2}}{ab}$的值为(D).
A.0
B.1
C.2
D.3

答案： D [解析]设$x_{0}$是它们的一个公共实数根，则$ax_{0}^{2}+bx_{0}+c=0$，$bx_{0}^{2}+cx_{0}+a=0$，$cx_{0}^{2}+ax_{0}+b=0$。把上面三个式子相加，整理得$(a+b+c)(x_{0}^{2}+x_{0}+1)=0$，因为$x_{0}^{2}+x_{0}+1=\left(x_{0}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}＞0$，所以$a+b+c=0$，所以$\frac{a^{2}}{bc}+\frac{b^{2}}{ca}+\frac{c^{2}}{ab}=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}=\frac{a^{3}+b^{3}-(a+b)^{3}}{abc}=\frac{-3ab(a+b)}{abc}=3$。故选 D。

2.(湖南株洲二中自主招生)已知实数$a≠b$,且满足$(a+1)^{2}= 3-3(a+1)$,$(b+1)^{2}= 3-3(b+1)$,则$b\sqrt {\frac {b}{a}}+a\sqrt {\frac {a}{b}}$的值为(B).
A.23
B.-23
C.-2
D.-13

答案： B [解析]
∵实数$a≠b$，且满足$(a+1)^{2}=3-3(a+1)$，$(b+1)^{2}=3-3(b+1)$，
∴$a+1$、$b+1$是方程$x^{2}=3-3x$，即$x^{2}+3x-3=0$的两个不相等的实数根，
∴$(a+1)+(b+1)=-3$，即$a+b=-5$，$(a+1)(b+1)=-3$，即$ab+a+b+1=-3$，
∴$ab=1$，
∵$a＜0$，$b＜0$，
∴$a=\frac{1}{b}$，$b=\frac{1}{a}$，
∴$b\sqrt{\frac{b}{a}}+a\sqrt{\frac{a}{b}}=-\frac{b}{a}\sqrt{ab}-\frac{a}{b}\sqrt{ab}=-\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\cdot\sqrt{ab}=-[(a+b)^{2}-2ab]=-23$。故选 B。

3.[全国初中数学竞赛(湖北赛区)预赛]规定一种运算“*”：对于任意实数对$(x,y)$,恒有$(x,y)*(x,y)= (x+y+1,x^{2}-y-1)$.若实数a、b满足$(a,b)*(a,b)= (b,a)$,则$a= $-1,$b= $1.

答案： -1 1

4.(全国初中数学联合竞赛)已知t是实数,若a、b是关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+t-1= 0$的两个非负实根,则$(a^{2}-1)(b^{2}-1)$的最小值是-3.

答案： -3

5.(“新知杯”上海初中数学竞赛)设a、b是方程$x^{2}+68x+1= 0$的两个根,c、d是方程$x^{2}-86x+1= 0$的两个根,则$(a+c)(b+c)(a-d)(b-d)$的值为2772.

答案： 2772 [解析]
∵$a$、$b$是方程$x^{2}+68x+1=0$的两个根，
∴$a+b=-68$①，$ab=1$②。
∵$c$、$d$是方程$x^{2}-86x+1=0$的两个根，
∴$c+d=86$③，$cd=1$④，$(a+c)(b+c)(a-d)(b-d)=[c^{2}+(a+b)c+ab]\cdot[d^{2}-(a+b)d+ab]$⑤，因为题意得出的关于$a$、$b$、$c$、$d$的关系为$a$与$b$之间的关系和$c$与$d$之间的关系。所以需展开以便利用关系将①②代入⑤，得$[c^{2}+(a+b)c+ab][d^{2}-(a+b)d+ab]=(c^{2}-68c+1)(d^{2}+68d+1)$，因为$c$、$d$是方程$x^{2}-86x+1=0$的两个根，所以$c^{2}-86c+1=0$，$d^{2}-86d+1=0$，$cd=1$，
∴$c^{2}-68c+1=18c$，$d^{2}+68d+1=154d$，
∴原式$=18c×154d=2772cd=2772$。