《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

变式 3.1 已知,如图,AB 是$\odot O$的直径,AC 是弦,P 是 AC 延长线上一点且$AC= PC$,PB 的延长线交$\odot O$于点 D. 求证：$AC= DC$.

答案：
如图,连接BC.
∵AB为$\odot O$的直径,
∴BC⊥AP.
∵AC = PC,
∴BC为线段AP的中垂线,
∴AB = PB,∠A = ∠P.
∵∠D = ∠A,
∴∠D = ∠P,DC = PC,
∴AC = DC.

4. 如图,$\odot O$的半径为 R,弦 AB、CD 相互垂直,连接 AD、BC. 求证：$AD^{2}+BC^{2}= 4R^{2}$.

答案：
如图,作$\odot O$的直径DE,连接AE、CE.
∵DE是直径,
∴EC⊥CD.
∵AB⊥CD,
∴AB//EC,
易证$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BC}$,
∴AE = CB.
由DE是直径得到∠EAD = ∠ECD = 90°.
由勾股定理,得AD² = DE² - AE²,
∴AD² + BC² = DE² - AE² + AE² = 4R².

变式 4.1 如图,P 是$\odot O$的弦 CB 延长线上一点,点 A 在$\odot O$上,且$\angle PCA= \angle BAP$. 求证：PA 是$\odot O$的切线.

答案：
作$\odot O$的直径AD,连接BD.
则∠C = ∠D(同弧所对的圆周角相等),∠ABD = 90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠D + ∠BAD = 90°,
∴∠C + ∠BAD = 90°(等量代换).
∵∠PCA = ∠BAP,
∴∠BAD + ∠PAB = 90°,即AP⊥AD,
∴PA是$\odot O$的切线.

5. (2025·广东广州中学期中)如图所示,O 为$\angle BAC$平分线上一点,$OD\perp AB$于 D,以 O 为圆心,以 OD 为半径作$\odot O$,求证：$\odot O$与 AC 相切.

答案：
如图,过点O作OE⊥AC,垂足为E.
∵O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,
∴OE = OD.
∵OE⊥AC,
∴$\odot O$与AC相切

变式 5.1 如图,在$\text{Rt}\triangle OAB$中,$\angle AOB= 90^{\circ }$,$OA= 3$,$OB= 4$,以点 O 为圆心,2.4 为半径作$\odot O$. 求证：AB 是$\odot O$的切线.

答案：
如图,过点O作OC⊥AB于点C.
∵∠AOB = 90°,OA = 3,OB = 4,
∴AB = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = 5.
∵$\frac{1}{2}$AB·OC = $\frac{1}{2}$OA·OB,
∴OC = $\frac{3×4}{5}$ = 2.4.
∵$\odot O$的半径为2.4,
∴OC等于$\odot O$的半径.
∵AB⊥OC,
∴AB是$\odot O$的切线.