《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

9. 如图,O 是$\angle EPF$平分线上的一点,以点 O 为圆心的圆和$\angle EPF$的两边分别交于点 A、B 和点 C、D. 求证：$\angle OBA= \angle OCD$.

答案：
如图,作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N.
∵PO平分∠EPF,
∴OM=ON.
又OB=OC,
∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL),
∴∠OBA=∠OCD.

10. 实验班原创 如图,在$\odot O$中,半径 OC 垂直于直径 AB,F 为 OA 上一点,连接 CF,作$BG\perp CF$,交 OC 于点 E,求证：$OE= OF$.

答案：
∵OC⊥AB,
∴∠EOB=∠FOC=90°.
∵BG⊥CF,
∴∠BGC=90°,
∴∠FCO+∠CEG=90°.又∠CEG=∠BEO,∠BEO+∠EBO=90°,
∴∠EBO=∠FCO.
又OC=OB,
∴△OEB≌△OFC(ASA),
∴OE=OF.

11. 如图,AB 是$\odot O$的弦,$OC\perp AB$,垂足为 C,$OD// AB$,$OC= \frac {1}{2}OD$,则$\angle ABD$的度数为(D).

A.$90^{\circ }$
B.$95^{\circ }$
C.$100^{\circ }$
D.$105^{\circ }$

答案： D　[解析]连接OB,则OB=OD.
∵OC=$\frac{1}{2}$OD,
∴OC=$\frac{1}{2}$OB.
∵OC⊥AB,
∴∠OBC=30°.
∵OD//AB,
∴∠BOD=∠OBC=30°,
∴∠OBD=∠ODB=75°,
∴∠ABD=30°+75°=105°.故选D.

12. 动点定圆模型 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,0)$、$B(1-a,0)$、$C(1+a,0)(a＞0)$,点 P 在以$D(4,4)$为圆心,1 为半径的圆上运动,且始终满足$\angle BPC= 90^{\circ }$,则 a 的最大值是______.

答案：
6　[解析]如图,连接AP.
∵A(1,0)、B(1−a,0)、C(1+a,0)(a＞0),
∴AB=1−(1−a)=a,CA=a+1−1=a,
∴AB=AC.
∵∠BPC=90°,
∴PA=AB=AC=a.
连接AD并延长交⊙D于点P'，此时AP'最长,

∵A(1,0)、D(4,4),
∴AD=$\sqrt{(4−1)^2+4^2}$=5,
∴AP'=5+1=6.故a的最大值为6.

13. 转化思想 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB$为锐角,分别以 AB、AC 为直径作半圆,过点 B、A、C 作$\overset{\frown }{BAC}$,如图所示. 若$AB= 4$,$AC= 2$,$S_{1}-S_{2}= \frac {\pi }{4}$,求$S_{3}-S_{4}$的值.

答案：
∵AB=4,AC=2,
∴S₁+S₃=2π,S₂+S₄=$\frac{1}{2}$π,
∴(S₁+S₃)−(S₂+S₄)=(S₁−S₂)+(S₃−S₄)=$\frac{3}{2}$π.
∵S₁−S₂=$\frac{π}{4}$,
∴S₃−S₄=$\frac{5}{4}$π.