《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

3.(2025·河南南阳南召期中)阅读下列材料:整体思想是数学解题中常见的一种思想方法.下面是某同学对多项式$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1$进行因式分解的过程:
解:设$x^{2}+2x= y$,原式$=y(y+2)+1$(第一步)$=y^{2}+2y+1$(第二步)$=(y+1)^{2}$(第三步)$=(x^{2}+2x+1)^{2}$(第四步).
(1)该同学没有完成因式分解,请你直接写出最后的结果______$(x+1)^{4}$;
(2)请你结合以上的思想方法对多项式$(x^{2}-4x)(x^{2}-4x+8)+16$进行因式分解;
令$y=x^{2}-4x$,则原式$=y(y+8)+16=y^{2}+8y+16=(y+4)^{2}=(x^{2}-4x+4)^{2}=(x-2)^{4}$.
(3)若$(x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-1)= 63$,求$x^{2}+y^{2}$的值.
令$x^{2}+y^{2}=m$,则由$(x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-1)=63$,得$(m+1)(m-1)=63$,解得$m=±8$.因为$m=x^{2}+y^{2}≥0$,所以$m=8$,则$x^{2}+y^{2}=8$.

答案： 3.
(1)$(x+1)^{4}$
(2)令$y=x^{2}-4x$,
则原式$=y(y+8)+16=y^{2}+8y+16$
$=(y+4)^{2}=(x^{2}-4x+4)^{2}=(x-2)^{4}$.
(3)令$x^{2}+y^{2}=m$,
则由$(x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-1)=63$,得
$(m+1)(m-1)=63$,解得$m=±8$.
因为$m=x^{2}+y^{2}≥0$,所以$m=8$,则$x^{2}+y^{2}=8$.

4.(2025·山东济宁期中)阅读下列材料:
解方程:$x^{4}-6x^{2}+5= 0$.这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设$x^{2}= y$,那么$x^{4}= y^{2}$,于是原方程可变为$y^{2}-6y+5= 0$①,解这个方程,
得$y_{1}= 1,y_{2}= 5$.
当$y= 1$时,$x^{2}= 1,\therefore x= \pm1$;
当$y= 5$时,$x^{2}= 5,\therefore x= \pm\sqrt{5}$,
所以原方程有四个根:$x_{1}= 1,x_{2}= -1,x_{3}= \sqrt{5},x_{4}= -\sqrt{5}$.
在这个过程中,我们利用换元法达到降次的目的,体现了转化的数学思想.
(1)解方程$(x^{2}-x)^{2}-(x^{2}-x)-6= 0$时,若设$y= x^{2}-x$,则原方程可转化为______;
(2)若$(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2}-1)= 12$,求$a^{2}+b^{2}= $______;
(3)参照上面解题的思想方法解方程:$(\frac{x}{x^{2}-1})^{2}-\frac{4x}{x^{2}-1}= -4$.
$y^{2}-y-6=0$4$\left( \dfrac{x}{x^{2}-1}\right)^{2}-\dfrac{4x}{x^{2}-1}=-4$,
设$y=\dfrac{x}{x^{2}-1}$,则$\dfrac{4x}{x^{2}-1}=4y$,
原方程变形为$y^{2}-4y=-4$,$y^{2}-4y+4=0$,
$(y-2)^{2}=0$,解得$y_{1}=y_{2}=2$,
$\therefore \dfrac{x}{x^{2}-1}=2$,去分母得$2x^{2}-2=x$,
解得$x_{1}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$,$x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$,
经检验,$x_{1}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$和$x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$是上述分式方程的解,
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$,$x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$.

答案： 4.
(1)$y^{2}-y-6=0$
(2)4 解析:设$a^{2}+b^{2}=t$,则原方程可变为$t(t-1)=12$,
解得$t_{1}=4$,$t_{2}=-3$.$\because a^{2}+b^{2}≥0$,$\therefore a^{2}+b^{2}=4$.
(3)$\left( \dfrac{x}{x^{2}-1}\right)^{2}-\dfrac{4x}{x^{2}-1}=-4$,
设$y=\dfrac{x}{x^{2}-1}$,则$\dfrac{4x}{x^{2}-1}=4y$,
原方程变形为$y^{2}-4y=-4$,$y^{2}-4y+4=0$,
$(y-2)^{2}=0$,解得$y_{1}=y_{2}=2$,
$\therefore \dfrac{x}{x^{2}-1}=2$,去分母得$2x^{2}-2=x$,
解得$x_{1}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$,$x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$,
经检验,$x_{1}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$和$x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$是上述分式方程的解,
$\therefore$原方程的解为$x_{1}=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}$,$x_{2}=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}$.