《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

11.(2025·淮安盱眙期末)若关于x的一元二次方程$ax^2+bx-3= 0的一个根是x= 1$,则代数式2024-a-b的值为______2021.

答案： 2021 [解析]
∵关于x的一元二次方程ax²+bx-3=0的一个根是x=1,
∴a+b-3=0,
∴a+b=3,
∴2024-a-b=2024-(a+b)=2024-3=2021.

12.转化思想 (2025·镇江丹徒区期中)已知方程$x^2+2x-3= 0的解是x_1= 1,x_2= -3$,则方程$(x-2024)^2+2(x-2024)-3= 0$的解是______x₁=2025,x₂=2021.

答案： x₁=2025,x₂=2021 [解析]令x-2024=m,则方程(x-2024)²+2(x-2024)-3=0可转化为m²+2m-3=0.因为方程m²+2m-3=0的解是x₁=1,x₂=-3,所以x-2024=1或-3,则x₁=2025,x₂=2021.归纳总结 本题考查了一元二次方程的解,熟练掌握一元二次方程的解的定义是关键.

13.已知关于x的方程$(k-1)x^2+(k+2)x-3= 0$.
(1)当k为何值时,此方程为一元一次方程?并求出此方程的解.
(2)若此方程为一元二次方程,求k的取值范围.

答案：
(1)当k=1时,此方程为一元一次方程.此时3x-3=0,解得x=1.
(2)若此方程为一元二次方程,则k≠1.

14.(2024·日照中考)先化简,再求值:$(\frac{x+3}{x^2-x}-\frac{x}{x^2-2x+1})÷\frac{2x-3}{x}$,其中x满足$x^2-2x-1= 0$.

答案： 原式=[x+3/x(x-1)-x/(x-1)²]·x/2x-3=[(x+3)(x-1)/x(x-1)²-x²/x(x-1)²]·x/2x-3=x²+2x-3-x²/x(x-1)²·x/2x-3=2x-3/x(x-1)²·x/2x-3=1/(x-1)².
∵x²-2x-1=0,
∴x²-2x=1,
∴原式=1/1+1=1/2.

15.实验班原创 已知关于x的一元二次方程$(x-1)(x-2)= m+1$(m为常数).
(1)若它的一个实数根是关于x的方程$-3(x-m)+6= 0$的根,求m的值;
(2)若它的一个实数根是关于x的方程$2(x-n)-4= 0$的根,求证:$m-n≥-1$.

答案：
(1)解关于x的方程-3(x-m)+6=0,得x=m+2,把x=m+2代入方程(x-1)(x-2)=m+1,得(m+2-1)·(m+2-2)=m+1,整理,得m²=1,解得m=1或m=-1.
(2)解关于x的方程2(x-n)-4=0,得x=n+2,把x=n+2代入方程(x-1)(x-2)=m+1,得(n+2-1)(n+2-2)=m+1,整理,得m=n²+n-1,所以m-n=n²-1.因为n²≥0,所以m-n≥-1.

16.教材P6思考与探索·变式 如图,某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积都为$144m^2,$求甬路的宽度.(根据题意列出方程即可)

答案： 设铺路的宽度为x m,根据题意,得(40-2x)(26-x)=144×6,化简,得2x²-92x+176=0,即x²-46x+88=0.