《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

17.(南京二十九中特长生)在$\triangle ABC$中,$AB= 2\sqrt{3}$,$60^{\circ}\leq\angle C\leq120^{\circ}$,求所有点 C 形成的图形的面积.

答案：
如图，点C所形成的图形为阴影部分的2倍(下面对称部分也对)，易得OA=OB=OP=2，∠AOB=120°，
∵$\overset{\frown}{AmB}$在⊙O上，
∴PA=PB=2，∠APB=120°.
∵$\overset{\frown}{AOB}$在⊙P上，
∴$\overset{\frown}{AmB}$与$\overset{\frown}{AOB}$围成部分为所求图形，
∴S阴影=S扇形OAB + S△OAB + S△PAB - S扇形PAB=$\frac{240}{360}\pi×2^{2}+\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2-\frac{120}{360}\pi×2^{2}=\frac{4}{3}\pi+2\sqrt{3}$，
∴所有点C形成的图形的面积为$\frac{8}{3}\pi+4\sqrt{3}$.

18. 分类讨论思想 (南京十三中特长生)四边形 ABCD 是矩形,$\odot O$与 BC 相切于点 E,且 E 为 BC 的中点,$AB= 3$,$BC= 6$,$AF= 3-\sqrt{3}$.
(1)求$\odot O$的半径.
(2)若矩形 ABCD 绕点 E 顺时针旋转$\alpha^{\circ}(0＜\alpha\leq180)$,是否存在$\odot O$与矩形的一边相切?若存在,求出旋转角;若不存在,说明理由.
(3)以矩形 ABCD 为侧面围成圆柱,体积为$V_1$,连接 OF、OG,以扇形 OFG 为侧面围成锥形,体积为$V_2$,求$\frac{V_1}{V_2}$.

答案：

(1)如图
(1)，连接OF、OG，连接EO并延长交FG于点M.
设⊙O的半径为r，则OE=OF=OG=r，OM⊥FG，
由切线的性质得OE⊥BC，由平行线的性质得OM⊥FG，OM=3-r，AM=BE=3，
∴FM=AM - AF=$\sqrt{3}$.
在Rt△OFM中，(3-r)²+($\sqrt{3}$)²=r²，
解得r=2，
∴⊙O的半径为2.
(2)如图
(2)，当AB与⊙O相切时，
设切点为P，则OP=OE=2，BE=3.
过点O作OQ⊥BE，垂足为Q，则BQ=2，EQ=1，
∴∠OEQ=60°，
∴α=30°.
如图
(3)，当AD与⊙O相切时，
同理OQ=1，OE=2，∠OEB=30°，
∴α=60°.
当α=180°时，BC与⊙O相切.
综上所述，α=30°、60°或180°.
(3)由
(1)得∠FOG=120°，$\overset{\frown}{FG}=\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4}{3}\pi$，
∴圆锥底面半径$r_{2}=\frac{\frac{4}{3}\pi}{2\pi}=\frac{2}{3}$，圆锥底面圆的周长即为侧面扇形的弧长.
∴圆锥的高$h_{2}=\sqrt{2^{2}-(\frac{2}{3})^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$V_{2}=\frac{1}{3}\pi r_{2}^{2}h_{2}=\frac{1}{3}\pi×(\frac{2}{3})^{2}×\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{81}\pi$.
圆柱若以AB为高，则底面半径$r_{1}=\frac{6}{2\pi}=\frac{3}{\pi}$，
则$V_{1}=\pi r_{1}^{2}×3=\pi×(\frac{3}{\pi})^{2}×3=\frac{27}{\pi}$，
∴$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{27}{\pi}}{\frac{16\sqrt{2}}{81}\pi}=\frac{2187\sqrt{2}}{32\pi^{2}}$；
圆柱若以AD为高，则底面半径$r_{1}=\frac{3}{2\pi}$，则$V_{1}=\pi r_{1}^{2}×6=\pi×(\frac{3}{2\pi})^{2}×6=\frac{27}{2\pi}$，
∴$\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{27}{2\pi}}{\frac{16\sqrt{2}}{81}\pi}=\frac{2187\sqrt{2}}{64\pi^{2}}$.
综上所述，$\frac{V_{1}}{V_{2}}$的值为$\frac{2187\sqrt{2}}{32\pi^{2}}$或$\frac{2187\sqrt{2}}{64\pi^{2}}$.

19.(2024·泰安中考)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆$O'$的一个直径端点与半圆 O 的圆心重合,若半圆的半径为 2,则阴影部分的面积是( ).

A.$\frac{4}{3}\pi-\sqrt{3}$
B.$\frac{4}{3}\pi$
C.$\frac{2}{3}\pi-\sqrt{3}$
D.$\frac{4}{3}\pi-\frac{\sqrt{3}}{4}$

答案：
A　[解析]如图，连接OA、AO'，作AB⊥OO'于点B.
∵OA=OO'=AO'=2，
∴三角形AOO'是等边三角形，
∴∠AO O'=60°，OB=$\frac{1}{2}OO'=1$，
∴AB=$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$，
∴S弓形AO'=S扇形AO'O - S△AO'O=$\frac{60\pi×2^{2}}{360}-2×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}$，
∴S阴影=S弓形AO' + S扇形AOO'=$\frac{2\pi}{3}-\sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}$.故选A.

20. 新情境 实现共同富裕 (2024·内蒙古中考)为了促进城乡协调发展,实现共同富裕,某乡镇计划修建公路.如图,$\overset{\frown}{AB}与\overset{\frown}{CD}$是公路弯道的外、内侧边线,它们有共同的圆心 O,所对的圆心角都是$72^{\circ}$,点 A、C、O 在同一条直线上,公路弯道外侧边线比内侧边线多 36 米,则公路宽 AC 的长是______米.($\pi$取 3.14,计算结果精确到 0.1)

28.7

答案： 28.7　[解析]由题意，得$\frac{72\pi\cdot OA}{180}-\frac{72\pi\cdot OC}{180}=36$，
∴OA - OC=$\frac{90}{\pi}\approx28.7$(米).
∴AC=OA - OC=28.7米.