《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

1. 教材 P74 习题 T12·变式 (2024·无锡江阴期中)如图,PA、PB 是$\odot O$的切线,切点分别为 A、B,点 C 在$\odot O$上,过点 C 的切线分别交 PA、PB 于点 D、E,若$PA= 1$,则$\triangle PDE$的周长为(B).

A.$\sqrt{3}$
B.2
C.3
D.6

答案： B [解析]
∵PA、PB 是⊙O 的切线，
∴PA=PB=1.
∵过点 C 的切线分别交 PA、PB 于点 D、E，
∴DA=DC，EC=EB.
∴△PDE 的周长=PD+PE+DE =PD+PE+DC+EC=PD+PE+DA+EB =PD+DA+PE+EB=PA+PB=2PA=2.故选 B.

2. 如图,AB 为$\odot O$的直径,弦$CD\perp AB$于点 E,过点 C 作$\odot O$的切线交 AB 的延长线于点 M,下列结论：①$CE= DE$；②$\widehat{BC}= \widehat{BD}$；③MD 为$\odot O$的切线；④$MC= MD$. 其中正确的结论有(D).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D [解析]
∵AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，
∴CE=DE，故①正确；由 AB⊥CD，得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，故②正确；连接 OC、OD，则∠OCD=∠ODC.由 AB 垂直平分 CD，得 MC=MD，
∴∠MCD=∠MDC.又 MC 为⊙O 的切线，
∴MC⊥OC，
∴∠MCO=90°，即∠OCD+∠MCD=90°，
∴∠MDC+∠ODC=90°，即 OD⊥MD，
∴MD 为⊙O 的切线，故③④正确. 故选 D.

3. (2025·南京秦淮区期末)如图,射线 PA、PB 与$\odot O$相切,切点分别为 A、B,连接 PO 并延长,交$\odot O$于点 C,连接 AC、BC. 求证$AC= BC$.

答案：
如图，连接 BO、AO.
∵射线 PA、PB 与⊙O 相切，切点分别为 A、B，
∴PA=PB，
∴点 P 在 AB 的垂直平分线上.
∵BO=AO，
∴点 O 在 AB 的垂直平分线上，
∴OP 垂直平分 AB.
∵点 C 在 PO 的延长线上，
∴AC=BC.一题多解 连接 BO、AO.
∵射线 PA、PB 与⊙O 相切，切点分别为 A、B，
∴PA=PB.
∵PA=PB，OA=OB，PO=PO，
∴△BPO≌△APO，
∴∠BOP=∠AOP.
∴180°-∠BOP=180°-∠AOP，即∠BOC=∠AOC，
∴AC=BC.

4. (2025·南通崇川区期中)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\odot O是\triangle ABC$的内切圆,三个切点分别为 D、E、F,若$BF= 4$,$AF= 6$,则$\triangle ABC$的面积是( ).

A.24
B.28
C.32
D.36

答案：
A [解析]如图，连接 DO、EO.
∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=4，AF=AE=6，
∴AB=AF+BF=6+4=10.
∵∠C=90°，
∴四边形 OECD 是矩形.
∵EO=DO，
∴矩形 OECD 是正方形.设 EO=x，则 EC=CD=x，在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，故$(x+4)^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$，解得 x=2，
∴BC=6，AC=8，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×8=24$.故选 A.

5. (2025·连云港海州区新港实验中学期中)如图,已知 PA、PB 是$\odot O$的两条切线,A、B 为切点,线段 OP 交$\odot O$于点 M. 给出下列四种说法：①$PA= PB$；②$OP\perp AB$；③四边形 OAPB 有外接圆；④M 是$\triangle ABP$的内心. 其中所有正确说法的个数是( ).

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：
D [解析]
∵PA、PB 是⊙O 的两条切线，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，故①正确；
∵OA=OB，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴△OAP、△OBP 关于 OP 对称，
∴OP⊥AB，故②正确；如图
(1)，连接 AM、BM，则∠OAB+∠PAB=∠APM+∠PAB=90°，
∴∠OAB=∠APM.
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∴∠OAB+∠BAM=∠APM+∠PAM，
∴∠BAM=∠PAM，即 AM 平分∠BAP，同理可得 BM 平分∠ABP，
∴M 是△ABP 的内心，故④正确；如图
(2)，取 OP 的中点 Q，连接 AQ、BQ，则 AQ=$\frac{1}{2}$OP=BQ，即 QA=QO=QP=QB，
∴B、O、A、P 四点共圆，故③正确. 故选 D.

6. (2025·南京鼓楼区期中)如图,四边形 ABCD 是$\odot O$的外切四边形,且$BC= 3$,$AD= 5$,若四边形 ABCD 的面积等于 15,则$\odot O$的半径等于______.

答案：
$\frac{15}{8}$ [解析]如图，连接 OA、OB、OC、OD，设四边形 ABCD 与⊙O 的切点分别为 E、F、G、H，连接 OE、OF，则 OE⊥AB，OF⊥AD.由切线长定理得 AE=AF，DF=DG，CG=CH，BE=BH，
∴AB+CD=BC+AD=8.设⊙O 的半径为 r，由题意，得$\frac{1}{2}AB\cdot r+\frac{1}{2}BC\cdot r+\frac{1}{2}AD\cdot r+\frac{1}{2}CD\cdot r=15$，解得$r=\frac{15}{8}$.

7. 分类讨论思想 如图,PA、PB 分别与$\odot O$相切于 A、B 两点,且$\angle APB= 56^{\circ}$,若点 C 是$\odot O$上异于点 A、B 的一点,则$\angle ACB$的大小为62°或 118°.

答案： 62°或 118° [解析]连接 CA、BC，
∵PA、PB 切⊙O 于点 A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB=360°，
∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-56°=124°.当点 C 在优弧 AB 上时，由圆周角定理知，∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=62°；当点 C 在劣弧 AB 上时，由圆内接四边形的性质，得∠ACB=118°.

8. 如图,AB、AC 是$\odot O$的切线,B、C 是切点,过$\widehat{BC}$上的任意一点 P 作$\odot O$的切线与 AB、AC 分别交于点 D、E.
(1)连接 OD 和 OE,若$\angle A= 50^{\circ}$,则$\angle DOE= $65°.

(2)当点 P 在$\widehat{BC}$的何处时,$PD= PE$？为什么？
当点 P 在$\overset{\frown}{BC}$的中点时，PD=PE. 理由如下：连接 OP、OB、OC，
∵P 为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴∠POB=∠POC.
∵AB、AC、DE 为⊙O 的切线，
∴∠DOB=∠DOP，∠POE=∠COE，∠OBD=∠OCE=90°.
∴∠BOD=∠COE=∠POD=∠POE.
∴△BOD≌△COE.
∴OD=OE.又∠POD=∠POE，
∴PD=PE.

答案：
(1)65
(2)当点 P 在$\overset{\frown}{BC}$的中点时，PD=PE. 理由如下：连接 OP、OB、OC，
∵P 为$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴∠POB=∠POC.
∵AB、AC、DE 为⊙O 的切线，
∴∠DOB=∠DOP，∠POE=∠COE，∠OBD=∠OCE=90°.
∴∠BOD=∠COE=∠POD=∠POE.
∴△BOD≌△COE.
∴OD=OE.又∠POD=∠POE，
∴PD=PE.