《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

15.(2025·河南新乡一中期中)如图,四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,连接 AC,E 为 BC 延长线上一点,且 CD 平分$\angle ACE$.
(1)如图(1),若$\angle DCE= 60^{\circ }$,求证：$\triangle ABD$为等边三角形；
(2)如图(2),若$AB= 10$,$BD= 13$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)
∵CD平分∠ACE，
∴∠DCE=∠ACD.
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠BAD=∠DCE=∠ACD.
∵∠DCE=60°,
∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=∠BAD=60°,
∴∠ADB=180°−60°×2=60°=∠ABD=∠BAD,
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形.
(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G，连接OB、OA, 由
(1)知∠BAD=∠DCE=∠ACD=∠ABD,
∴DB=DA.
∵AB=10，BD=13，
∴BG=AG=5,
∴DG=$\sqrt{13^2-5^2}$=12，DG垂直平分AB.
∵OB=OA，
∴圆心O在AB的垂直平分线DG上，
∴OG⊥AB.设⊙O的半径为r，
∴r²=(12−r)²+5²,解得r=$\frac{169}{24}$，
∴⊙O的半径为$\frac{169}{24}$.

16. 如图,圆 O 中两条互相垂直的弦 AB、CD 交于点 E.
(1)点 M 是 CD 的中点,$OM= 3$,$CD= 12$,求圆 O 的半径长；
(2)点 F 在 CD 上,且$CE= EF$,求证：$AF\perp BD$.

精题详解

答案：

(1)连接OD，如图
(1).
∵M是CD的中点，CD=12,
∴DM=$\frac{1}{2}$CD=6，OM⊥CD,
∴∠OMD=90°. 在Rt△OMD中，OD=$\sqrt{OM^2+DM^2}$=3$\sqrt{5}$,即圆O的半径长为3$\sqrt{5}$
(2)连接AC，延长AF交BD于点G，如图
(2).
∵AB⊥CD，CE=EF,
∴AB是CF的垂直平分线.
∴AF=AC，即△ACF是等腰三角形.
∴∠FAE=∠CAE.
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{BC}$,
∴∠CAE=∠CDB.
∴∠FAE=∠CDB.在Rt△BDE中，∠CDB+∠B=90°,
∴∠FAE+∠B=90°.
∴∠AGB=90°.
∴AG⊥BD，即AF⊥BD.

17. 一题多问 如图,$\odot O$的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E、F.
(1)若$\angle E= \angle F$,求证：$\angle ADC= \angle ABC$；
(2)若$\angle E= \angle F= 42^{\circ }$,求$\angle A$的度数；
(3)若$\angle E= \alpha$,$\angle F= \beta$,且$\alpha \neq \beta$,请你用含有$\alpha$、$\beta的代数式表示\angle A$的大小.

精题详解

答案：
(1)
∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，而∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF,
∴∠ADC=∠ABC.
(2)由
(1)，知∠ADC=∠ABC.
∵∠EDC=∠ABC，∠EDC+∠ADC=180°,
∴∠EDC=∠ADC=90°.
∵∠F=42°，
∴∠A=90°−42°=48°.
(3)连接EF.
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ECD=∠A.
∵∠ECD=∠CEF+∠CFE,
∴∠A=∠CEF+∠CFE.
∵∠A+∠CEF+∠CFE+∠CED+∠CFB=180°,
∴2∠A+α+β=180°.
∴∠A=90°-$\frac{\alpha+\beta}{2}$

18.(2024·济宁中考)如图,分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边,延长线相交于点 E、F. 若$\angle E= 54^{\circ }41'$,$\angle F= 43^{\circ }19'$,则$\angle A$的度数为(C).

A.$42^{\circ }$
B.$41^{\circ }20'$
C.$41^{\circ }$
D.$40^{\circ }20'$

答案： C　[解析]
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°.
∵∠CDF是△ADE的外角，
∴∠CDF=∠A+∠E.
∵∠BCD是△CDF的外角，
∴∠BCD=∠F+∠CDF，
∴∠BCD=∠F+∠A+∠E,
∴∠A+∠F+∠A+∠E=180°,
∴2∠A+∠F+∠E=180°.
∵∠E=54°41′，∠F=43°19′,
∴2∠A+54°41′+43°19′=180°，
∴∠A=41°.故选C.

19.(2024·西宁中考)如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,E 为直径 CD 延长线上一点,$\widehat {AB}= \widehat {BC}$,$\angle ADE= 110^{\circ }$,则$\angle DAB= $______.

答案：
125°　[解析]连接OA、OB，如图所示.
∵∠ADE=110°，∠ADE+∠ADO=180°,
∴∠ADO=70°
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA=70°,
∴∠AOD=40°,
∴∠AOC=140°.
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠AOB=∠BOC=70°
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=55°.
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠DAB+∠OCB=180°，
∴∠DAB=125°.