《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

1.(2024·湖南中考)如图,AB、AC为$\odot O$的两条弦,连接OB、OC,若$\angle A= 45^{\circ }$,则$\angle BOC$的度数为(C).

A.$60^{\circ }$
B.$75^{\circ }$
C.$90^{\circ }$
D.$135^{\circ }$
]

答案： C　[解析]
∵$\stackrel{\frown }{BC}=\stackrel{\frown }{BC}$，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠A=45°，
∴∠BOC=2×45°=90°.故选C.

2.(2025·徐州睢宁期中)给出下列说法：
①长度相等的两条弧是等弧；
②相等的两个圆心角所对的弦相等；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；
④圆周角的度数等于它所对弧的度数.其中正确的是(D).
A.①②
B.②③
C.②
D.③

答案： D　[解析]在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，
∴①不正确，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的弦相等，
∴②不正确，不符合题意；同弧或等弧所对的圆周角相等，
∴③正确，符合题意；圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，
∴④不正确，不符合题意.故选D.

3.(2025·连云港灌云期中改编)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ }$,$\angle B= 25^{\circ }$.若以点C为圆心,CA长为半径的圆与AB交于点D,点E为圆上一点,则$\angle E$的度数为(A).

A.$25^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$65^{\circ }$

答案： A　[解析]连接CD，
∵∠ACB=90°，∠B=25°，
∴∠CAD=65°.
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=65°，
∴∠ACD=50°，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠ACD=25°.故选A.

4. 教材P56练习T3·变式 如图,$\odot O$的弦AB、CD的延长线相交于点P,且$AB= CD$.求证：$PA= PC$.
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答案： 连接AC.
∵AB=CD，
∴$\stackrel{\frown }{AB}=\stackrel{\frown }{CD}$，
∴$\stackrel{\frown }{AB}+\stackrel{\frown }{BD}=\stackrel{\frown }{BD}+\stackrel{\frown }{CD}$，即$\stackrel{\frown }{AD}=\stackrel{\frown }{CB}$，
∴∠C=∠A，
∴PA=PC.解后反思　本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键.

5.(2024·甘肃中考)如图,点A、B、C在$\odot O$上,$AC\perp OB$,垂足为D,若$\angle A= 35^{\circ }$,则$\angle C$的度数是(A).

A.$20^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$35^{\circ }$
]

答案： A　[解析]
∵∠A=35°，
∴∠O=2∠A=70°.
∵AC⊥OB，
∴∠CDO=90°，
∴∠C=90°-∠O=90°-70°=20°.故选A.

6.(2025·佛山一模)如图,点A、B、C、D在$\odot O$上,$BO// CD$,$\angle A= 25^{\circ }$,则$\angle O= $( ).

A.$120^{\circ }$
B.$130^{\circ }$
C.$100^{\circ }$
D.$125^{\circ }$

答案：
B　[解析]如图，连接OC，
∵∠A=25°，
∴∠1=2∠A=50°.
∵BO//CD，
∴∠2=∠1=50°.
∵OC=OD，
∴∠2=∠3=50°.

∵∠2+∠3+∠COD=180°，
∴∠COD=180°-∠2-∠3=80°，
∴∠BOD=∠1+∠COD=130°.故选B.

7. 如图,A、B、C是$\odot O$上的三个点,当BC平分$\angle ABO$时,能得出结论CO//AB(任写一个即可).

答案： 答案不唯一，如∠ABO=∠AOC、CO//AB等.

8. 教材P55例1·变式 如图,在扇形OAB中,已知点C、D在$\overset{\frown}{AB}$上,连接AD、BC交于点E,若$\angle AOB= 110^{\circ }$,$\overset{\frown}{CD}的度数为40^{\circ }$,则$\angle DEB= $______${}^{\circ }$.

答案：
35　[解析]如图，连接BD、OC、OD.
∵∠AOB=110°，
∴∠1=360°-∠AOB=250°，

∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠1=125°.
∵$\stackrel{\frown }{CD}$的度数为40°，
∴∠COD=40°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠COD=20°，
∴∠DEB=180°-∠CBD-∠ADB=35°.

9.(2024·无锡江南中学期末)如图,在$\odot O$中,$AD\perp BC$,连接AB、CD,当$AB= 2$,$CD= 6$时,则$\odot O$半径长为______.
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答案：
$\sqrt{10}$　[解析]如图，连接CO并延长交⊙O于H，连接BH、DH、BD.
∵CH是直径，
∴∠CBH=∠CDH=90°，
∴CB⊥BH.

∵CB⊥AD，
∴AD//BH，
∴∠ADB=∠DBH，
∴$\stackrel{\frown }{AB}=\stackrel{\frown }{DH}$，
∴DH=BA=2，而CD=6，根据勾股定理得CH=$\sqrt{C{D}^{2}+D{H}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴⊙O半径长为$\sqrt{10}$.

10.(无锡江阴南菁中学自主招生)如图,以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后,AB与$\overset{\frown}{CB}$相交于点D.若$\overset{\frown}{CD}= \frac{1}{3}\overset{\frown}{BD}$,则$\angle B= $______${}^{\circ }$.

答案：
18　[解析]如图，连接OC.
∵∠ABC=∠DBC，
∴$\stackrel{\frown }{AC}=\stackrel{\frown }{CD}$.
∵$\stackrel{\frown }{CD}=\frac{1}{3}\stackrel{\frown }{BD}$，
∴$\stackrel{\frown }{AC}=\frac{1}{4}\stackrel{\frown }{BC}$，
∴$\stackrel{\frown }{AC}=\frac{1}{5}\stackrel{\frown }{ACB}$，
∴∠AOC=$\frac{1}{5}$×180°=36°.
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B.
∵∠AOC=∠B+∠OCB，
∴∠B=18°.