《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

12. (2025·广东清远清新区期末)[阅读材料]若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)的两根为x_{1}$、$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$.这就是一元二次方程根与系数的关系.根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题：
(1)[材料理解]一元二次方程$2x^{2}-5x-1= 0的两根为x_{1}$、$x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= $$\frac {5}{2}$,$x_{1}x_{2}= $$-\frac {1}{2}$；
(2)[类比运用]已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+\frac{1}{2}k^{2}-2= 0$.若方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2}$,满足$x_{1}+x_{2}= 2x_{1}x_{2}+5$,求k的值；
∵所给方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2},$$\therefore x_{1}+x_{2}=2k+1,x_{1}x_{2}=\frac {1}{2}k^{2}-2.$$\because x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}+5,\therefore 2k+1=2(\frac {1}{2}k^{2}-2)+5,$解得$k_{1}=0,k_{2}=2$,经检验,$k=0$和$k=2$均符合题意，所以 k 的值为 0 或 2.
(3)[思维拓展]已知实数m、n满足$3m^{2}+6m-5= 0$,$3n^{2}+6n-5= 0$,且$m≠n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
由题意,知 m、n 可看成方程$3x^{2}+6x-5=0$的两个根，$\therefore m+n=-\frac {6}{3}=-2,mn=-\frac {5}{3},$$\therefore \frac {n}{m}+\frac {m}{n}=\frac {(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac {(-2)^{2}-2×(-\frac {5}{3})}{-\frac {5}{3}}=-\frac {22}{5}.$

答案：
(1)$\frac {5}{2}$ $-\frac {1}{2}$
(2)
∵所给方程的两个实数根为$x_{1}$、$x_{2},$$\therefore x_{1}+x_{2}=2k+1,x_{1}x_{2}=\frac {1}{2}k^{2}-2.$$\because x_{1}+x_{2}=2x_{1}x_{2}+5,\therefore 2k+1=2(\frac {1}{2}k^{2}-2)+5,$解得$k_{1}=0,k_{2}=2$,经检验,$k=0$和$k=2$均符合题意，所以 k 的值为 0 或 2.
(3)由题意,知 m、n 可看成方程$3x^{2}+6x-5=0$的两个根，$\therefore m+n=-\frac {6}{3}=-2,mn=-\frac {5}{3},$$\therefore \frac {n}{m}+\frac {m}{n}=\frac {(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac {(-2)^{2}-2×(-\frac {5}{3})}{-\frac {5}{3}}=-\frac {22}{5}.$

13. (2025·扬州中学期末)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(m+5)x+3m+6= 0$.
(1)求证：不论实数m取何值,方程总有实数根；
(2)若该方程的两根是一个矩形的两邻边的长,当这个矩形的对角线长为5时,求m的值.

答案：
(1)$\because △=[-(m+5)]^{2}-4(3m+6)=m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}≥0$,
∴不论实数 m 取何值,方程总有实数根.
(2)设矩形的两邻边长为 a、b,根据根与系数的关系得$a+b=m+5＞0,ab=3m+6＞0,$$\because a^{2}+b^{2}=25,\therefore (a+b)^{2}-2ab=25,$即$(m+5)^{2}-2(3m+6)=25$，整理,得$m^{2}+4m-12=0,$解得$m_{1}=-6$(舍去),$m_{2}=2$,
∴m 的值为 2.

14. 分类讨论思想 (2025·甘肃兰州榆中期末改编)已知关于x的方程$x^{2}-(k+2)x+2k= 0$.
(1)若等腰三角形ABC的一边长$a= 3$,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长；
(2)若△DEF的两边长m、n是这个方程的两个根,且$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}= 2$,求k的值.

答案：
(1)$\because △=b^{2}-4ac=(k-2)^{2}≥0,$
∴方程有两个实数根.解方程$x^{2}-(k+2)x+2k=0,$得$x=\frac {k+2\pm (k-2)}{2}$,则$x_{1}=k,x_{2}=2.$$\because △ABC$为等腰三角形，遇到等腰三角形，注意腰与底不确定时要分类讨论
∴当$k=3$时,三边长为 3、3、2,此时周长为$3+3+2=8.$当$k=2$时,三边长为 3、2、2,此时周长为$2+2+3=7.$综上所述,$△ABC$的周长是 8 或 7.
(2)由题意,得$\frac {1}{m}+\frac {1}{n}=\frac {m+n}{mn}=\frac {k+2}{2k}=2$,解得$k=\frac {2}{3}.$