《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

13. 数形结合思想 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,以点$B$为圆心,$BC$的长为半径画弧,交线段$AB于点D$,以点$A$为圆心,$AD$的长为半径画弧,交线段$AC于点E$,设$BC= a$,$AC= b$.
(1)线段$AD的长是方程x^{2}+2ax-b^{2}= 0$的一个根吗？请说明理由.
(2)若线段$AD= EC$,求$\frac{a}{b}$的值.

答案：
(1)是. 理由如下：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB²=AC²+BC².
∵BC=a，AC=b，
∴AB²=a²+b². 方程x²+2ax-b²=0，变形为x²+2ax+a²=a²+b²，
∴(x+a)²=AB².
∵BD=BC=a，
∴(x+BD)²=AB².
∵AD+BD=AB，
∴线段AD的长是方程x²+2ax-b²=0的一个根.
(2)
∵AD=EC，
∴AC=2AD=2AE=b.
∴AD=$\frac{b}{2}$，
∴AB=a+$\frac{b}{2}$.
∵AB²=AC²+BC²，
∴(a+$\frac{b}{2}$)²=a²+b². 注意代数和几何线段的互相转化 整理，得a=$\frac{3}{4}$b，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{4}$.

14. 配方法(2025·扬州邗江区期中)配方法是数学中重要的一种思想方法. 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法. 这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题. 我们定义：一个整数能表示成$a^{2}+b^{2}$($a$、$b$是整数)的形式,则称这个数为“完美数”. 例如：5 是“完美数”. 理由：因为$5= 2^{2}+1^{2}$,所以 5 是“完美数”.
解决问题：
(1)已知 10 是“完美数”,请将它写成$a^{2}+b^{2}$($a$、$b$是整数)的形式10=1²+3²；
(2)若$x^{2}-4x+3可配方成(x-m)^{2}+n$($m$、$n$为常数),则$mn= $-2；
探究问题：
(3)已知$x^{2}+y^{2}-2x+6y+10= 0$,则$x+y= $-2；
(4)已知$S= x^{2}+9y^{2}+4x-12y+k$($x$、$y$是整数,$k$是常数),要使$S$为“完美数”,试求出符合条件的一个$k$值,并说明理由；
拓展结论：
(5)已知实数$x$、$y满足-x^{2}+\frac{7}{3}x+y-2= 0$,求$5x-3y$的最值.
当k=8，S为“完美数”. 理由如下：S=x²+9y²+4x-12y+8=(x²+4x+4)+(9y²-12y+4)=(x+2)²+(3y-2)².∵x、y是整数，∴x+2、3y-2也是整数，∴S是一个“完美数”.
∵-x²+$\frac{7}{3}$x+y-2=0，∴-y=-x²+$\frac{7}{3}$x-2，即-3y=-3x²+7x-6，5x-3y=5x-3x²+7x-6=-3(x-2)²+6，当x=2时，5x-3y最大，最大值为6.

答案：
(1)10=1²+3²
(2)-2 解析根据题意，得x²-4x+3=(x-2)²-1，
∴m=2，n=-1，
∴mn=-2.
(3)-2 解析等式变形得，(x²-2x+1)+(y²+6y+9)=0，将含x的项和含y的项分别整合在一起，再配方成平方的形式 即(x-1)²+(y+3)²=0.
∵(x-1)²≥0，(y+3)²≥0，
∴x-1=0，y+3=0，解得x=1，y=-3，则x+y=1-3=-2.
(4)当k=8，S为“完美数”. 理由如下：S=x²+9y²+4x-12y+8=(x²+4x+4)+(9y²-12y+4)=(x+2)²+(3y-2)².
∵x、y是整数，
∴x+2、3y-2也是整数，
∴S是一个“完美数”.
(5)
∵-x²+$\frac{7}{3}$x+y-2=0，
∴-y=-x²+$\frac{7}{3}$x-2，即-3y=-3x²+7x-6，5x-3y=5x-3x²+7x-6=-3(x-2)²+6，当x=2时，5x-3y最大，最大值为6.