《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

10. 分类讨论思想 (2025·宿迁宿城区期中)已知半径为 3 的$\odot O$中,弦$AB= 3\sqrt {2}$,弦$AC= 3$,则$\angle BAC= $______°.

答案：
105或15　[解析]如图
(1)，当AC与AB在点A的两侧时，考虑圆心角是否有重合部分 在△OAC中，
∵OA=OC=3，AC=3，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC=60°.在△OAB中，
∵OA=OB=3，AB=3$\sqrt{2}$，即3²+3²=(3$\sqrt{2}$)²，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠BOA=90°,
∴∠OAB=45°，
∴∠BAC=45°+60°=105°.如图
(2)，当AC与AB在点A的同侧时.同理可求得∠OAC=60°，∠OAB=45°,
∴∠BAC=∠OAC−∠OAB=60°−45°=15°.综上所述，∠BAC的度数为105°或15°.

11. 如图,$\angle DAE是\odot O$的内接四边形 ABCD 的一个外角,且$\angle DAE= \angle DAC$. 求证：$DB= DC$.

答案：
∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，
∴∠DAE=∠DCB.又∠DAE=∠DAC，
∴∠DCB=∠DAC.又∠DAC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC,
∴DB=DC.

12. 如图,已知两个等圆$\odot O_{1}和\odot O_{2}$相交于 A、B 两点,经过点 A 的直线与两圆分别交于点 C、D,经过点 B 的直线与两圆分别交于点 E、F,且$CD// EF$. 求证：
(1)四边形 EFDC 是平行四边形；
(2)$\widehat {CE}= \widehat {DF}$.

答案：
(1)连接AB.
∵四边形ABEC是⊙O₁的内接四边形，
∴∠BAD=∠E.又四边形ADFB是⊙O₂的内接四边形，
∴∠BAD+∠F=180°，
∴∠E+∠F=180°,
∴CE//DF.又CD//EF,
∴四边形EFDC是平行四边形.
(2)由
(1)，得四边形CEFD是平行四边形，
∴CE=DF.又⊙O₁与⊙O₂是等圆，
∴$\widehat{CE}$=$\widehat{DF}$.

13. 如图,四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E,且$DC= DE$.
(1)求证：$\angle A= \angle AEB$；
(2)连接 OE,交 CD 于点 F,$OE\perp CD$,求证：$\triangle ABE$是等边三角形.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°.
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCE.
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠AEB,
∴∠A=∠AEB.
(2)
∵∠A=∠AEB，
∴△ABE是等腰三角形.
∵OE⊥CD，
∴CF=DF,
∴EO是CD的垂直平分线，
∴ED=EC.
∵DC=DE，
∴DC=DE=EC,
∴△DCE是等边三角形,
∴∠AEB=60°，
∴△ABE是等边三角形.

14.(2025·扬州仪征期中)如图,四边形 ABCD 内接于一圆,延长 BC 到点 E.
(1)求证：$\angle DAB= \angle DCE$；
(2)连接 AC、BD,若$\angle DAB= 65^{\circ }$,CD 平分$\angle ACE$,求$\angle ADB$的度数.

答案：
(1)
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠DAB+∠DCB=180°.
∵∠DCE+∠DCB=180°，
∴∠DAB=∠DCE.
(2)由
(1)可知∠DCE=∠DAB=65°,
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACE=2∠DCE=130°,
∴∠ACB=180°−130°=50°.由圆周角定理得∠ADB=∠ACB=50°.