《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

17.教材或资料中会出现这样的题目:把方程$\frac{1}{2}x^2-x= 2$化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答.
(1)下列式子中,哪几个是方程$\frac{1}{2}x^2-x= 2$所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)
①$\frac{1}{2}x^2-x-2= 0$;②$-\frac{1}{2}x^2+x+2= 0$;③$x^2-2x= 4$;④$-x^2+2x+4= 0$;⑤$\sqrt{3}x^2-2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}= 0$.
(2)方程$\frac{1}{2}x^2-x= 2$化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系?

答案：
(1)①②④⑤
(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a,常数项为-4a.因此二次项系数∶一次项系数∶常数项=1∶(-2)∶(-4).

18.换元法 请阅读下列材料:
问题:已知方程$x^2+x-1= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则$y= 2x$,即$x= \frac{y}{2}$.
把$x= \frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2+\frac{y}{2}-1= 0$,
化简,得$y^2+2y-4= 0$,
故所求方程为$y^2+2y-4= 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为"换根法".
请用阅读材料提供的"换根法"求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程$x^2+3x-2= 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数;
(2)已知关于x的一元二次方程$ax^2-bx+c= 0(a≠0)$有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案：
(1)设所求方程的根为y,则y=-x,即x=-y,把x=-y代入方程x²+3x-2=0,得y²-3y-2=0,即所求方程为y²-3y-2=0.
(2)设所求方程的根为y,则y=1/x,即x=1/y.把x=1/y代入方程ax²-bx+c=0,得a·1/y²-b·1/y+c=0,整理,得cy²-by+a=0,即所求方程为cy²-by+a=0(c≠0).

19.(2024·南充中考)已知m是方程$x^2+4x-1= 0$的一个根,则$(m+5)(m-1)$的值为-4.

答案： -4 [解析]把x=m代入x²+4x-1=0,得m²+4m-1=0,
∴(m+5)(m-1)=m²-m+5m-5=m²+4m-5=1-5=-4.思路引导 代数式中的字母表示的数没有明确告知,而是隐含在题设中,因此首先应从题设中获取代数式,然后利用“整体代入法”求代数式的值.