《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

1. 分类讨论思想 (2025·河北邯郸期末)点A、B、C在⊙O上,且四边形OABC为平行四边形,P为⊙O上异于A、B、C的一点,则∠APC的度数为( ).

A.30°
B.60°
C.60°或120°
D.30°或150°

答案：
C　[解析]连接OB,如图
(1)所示.
∵四边形OABC为平行四边形,OA=OC,
∴平行四边形OABC为菱形，
∴OA=AB=BC=OC,
∴OB=OA=OC,
∴OA=OB=AB=OB=OC=BC,
∴△OAB和△OBC都是等边三角形，
∴∠OBA=∠OBC=60°,
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=120°.
∵点P为⊙O上异于A、B、C的一点,
∴有以下三种情况:
分类的依据是点P在优弧还是劣弧上
①当点P在优弧AMC上时，如图
(2)所示.
∵四边形PABC是⊙O的内接四边形,
∴∠APC+∠ABC=180°,
∴∠APC=180°−∠ABC=60°.
②当点P在弧BC上时，如图
(3)所示.
根据圆周角定理得∠APC=∠ABC=120°.
③当点P在弧AB上时,如图
(4)所示.
根据圆周角定理得∠APC=∠ABC=120°.
综上所述,∠APC的度数为60°或120°.
故选C.

2. (2025·南京鼓楼区期末)如图,以AB为直径的半圆经过△ADE的顶点D、E,点C在AB上,AC= AD,若∠ADC= 80°,则∠AED= ______°.

答案：
110　[解析]如图,连接BD,
在△ADC中,AC=AD,∠ADC=80°,
∴∠ACD=∠ADC=80°,
∴∠DAC=180°−80°×2=20°.
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°−20°=70°.
∵四边形ABDE为圆内接四边形，
∴∠AED=180°−∠ABD=180°−70°=110°.

3. 如图,AB是⊙O的直径,AD和BC分别切⊙O于A、B两点,CD与⊙O有公共点E,且AD= DE.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB= 12,BC= 4,求AD的长.

答案：

(1)如图,连接OD、OE,
∵AD切⊙O于点A,AB是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°,DA=DE.
∵AD=DE,OA=OE,OD=OD,
∴△ADO≌△EDO(SSS),
∴∠OED=∠OAD=90°.
∵OE为⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线
(2)如图,过点C作CH⊥AD于点H.
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A、B两点,
∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90°,
∴四边形ABCH是矩形，
∴CH=AB=12,AH=BC=4.
∵CD是⊙O的切线，
∴AD=DE,CE=BC,
∴DH=AD−BC=AD−4,CD=AD+4.
∵在Rt△CDH中,CH²+DH²=CD²,
∴12²+(AD−4)²=(AD+4)²,
∴AD=9.

4. 如图,在△ABC中,∠A= 90°,∠B= 60°,AB= 3,点D从点A以每秒1个单位长度的速度向点B运动(点D不与点B重合),过点D作DE//BC交AC于点E,以DE为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形ADFE,设点D的运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示△DEF的面积S;
(2)当t为何值时,⊙O与直线BC相切.

答案：

(1)
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B=60°.
在△ADE中,∠A=90°,AD=1×t=t,易得AE=√3t.
又四边形ADFE是矩形,
∴S△DEF=S△ADE=1/2AD·AE=1/2t×√3t=√3/2t².
∴S=√3/2t²(0＜t＜3).
(2)如图,过点O作OG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC 于点H,
∵DE//BC,
∴OG=DH,∠DHB=90°.
∵在Rt△DBH中,∠B=60°,BD=AB−AD=3−t,
∴DH=√3/2(3−t),
∴OG=√3/2(3−t).
当OG=1/2DE时,⊙O与BC相切.
∵在△ADE中,∠A=90°,∠ADE=60°,AD=t,
∴DE=2AD=2t,
∴√3/2(3−t)=1/2×2t,
∴t=6√3−9.
故当t=6√3−9时，⊙O与直线BC相切

5. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径,点E为⊙O上一点.若∠BEC= 18°,则∠ADC的度数为( ).

A.72°
B.108°
C.110°
D.118°

答案：
B　[解析]连接AE,
∵AB是⊙O的直径,∠BEC=18°,
∴∠AEB=90°,
∴∠AEC=90°−18°=72°.
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°−∠AEC=180°−72°=108°.故选B.

6. (2024·连云港中考)如图,AB是圆的直径,∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1、∠4的一边分别经过点A、B,则∠1+∠2+∠3+∠4= 90°.

答案： 90　[解析]
∵AB是圆的直径，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°.
∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的圆心角和为半圆,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°.

7. 分类讨论思想 (2024·江西中考)如图,AB是⊙O的直径,AB= 2,点C在线段AB上运动,过点C的弦DE⊥AB,将$\overset{\frown}{DBE}$沿DE翻折交直线AB于点F,当DE的长为正整数时,线段FB的长为______.

答案：
2 - √3或2 + √3或2　[解析]
∵AB为直径,DE为弦,
∴DE≤AB.又AB=2,
∴当DE的长为正整数时,DE=1或2.
当DE=2时,即DE为直径，
∵DE⊥AB,
∴将⌒DBE沿DE翻折交直线AB于点F,此时F与点A重合,故FB=2.
当DE=1,且点C在线段OB上时，
如图
(1),连接OD,
此时OD=1/2AB=1.
∵DE⊥AB
∴DC=1/2DE=1/2,
∴OC=√(OD²−DC²)=√3/2,
∴BC=OB−OC=(2 - √3)/2,
∴BF=2BC=2 - √3
当DE=1,且点C在线段OA上时,如图
(2),连接OD,
同理可得BC=(2 + √3)/2,
∴BF=2BC=2 + √3
综上，线段FB的长为2 - √3或2 + √3或2.