《2025年实验班提优训练九年级数学上册苏科版》

11.解下列方程:
(1)$2(x+1)^{2}= \frac {9}{32}$;
(2)$-(x-1)^{2}+\frac {25}{441}= 0$;
(3)(2025·泰州靖江期中)$4(2x-1)^{2}= 36$;
(4)(2025·常州武进区湖塘实验学校期中)$(2x+3)^{2}= (3x+2)^{2}$.

答案：
(1)$2(x+1)^{2}=\frac{9}{32}$,(x+1)^{2}=\frac{9}{64},x+1=±\frac{3}{8},x_{1}=-\frac{5}{8},x_{2}=-\frac{11}{8}.
(2)$-(x-1)^{2}+\frac{25}{441}=0$,(x-1)^{2}=\frac{25}{441},x-1=±\frac{5}{21},x_{1}=\frac{26}{21},x_{2}=\frac{16}{21}.
(3)$4(2x-1)^{2}=36$,(2x-1)^{2}=9,2x-1=±3,x_{1}=2,x_{2}=-1.
(4)$(2x+3)^{2}=(3x+2)^{2}$,开方,得$2x+3=3x+2$或$2x+3=-3x-2$,解得$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$.

12.实验班原创如果方程$2x^{2}-n= 0与方程-3x^{2}-m= 0$的解相同,求$3n+2m$的值.

答案： 由$2x^{2}-n=0$,得$x^{2}=\frac{n}{2}$,由$-3x^{2}-m=0$,得$x^{2}=-\frac{m}{3}$,由题意,得$\frac{n}{2}=-\frac{m}{3}$,即$\frac{n}{2}+\frac{m}{3}=0$,两边同乘6,得$3n+2m=0$.

13.中考新考法 新定义问题 给出一种运算:对于函数$y= x^{n}$,规定$y'= nx^{n-1}$.例如:若函数$y= x^{4}$,则有$y'= 4x^{3}$.已知函数$y= x^{3}$,求方程$y'= 12$的解.

答案： 由函数$y=x^{n}$,得$n=3$,则$y'=3x^{2}$,
∴$3x^{2}=12$,
∴$x^{2}=4$,
∴$x=±2$.故$x_{1}=2$,$x_{2}=-2$.

14.若$2y= (x-2)^{2}+1$,且y的算术平方根是$\sqrt {5}$,求$x+2y$的值.

答案：
∵y的算术平方根是$\sqrt{5}$,
∴$y=5$.
∴$10=(x-2)^{2}+1$,即$(x-2)^{2}=9$.
∴$x-2=±3$,解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=5$.
∴$x+2y=9$或15.

15.分类讨论思想对于实数p、q,我们用符号$min\{ p,q\}$表示p、q两数中较小的数,如$min\{ 1,2\} = 1$,若$min\{ (x-1)^{2},x^{2}\} = 1$,求x的值.

答案： 解：分两种情况讨论：
情况一：当$(x-1)^2 \leq x^2$时，$min\{(x-1)^2, x^2\}=(x-1)^2$，则$(x-1)^2=1$
开平方得$x-1=\pm1$
解得$x_1=2$，$x_2=0$
由$(x-1)^2 \leq x^2$，解得$x \geq \frac{1}{2}$，故$x=2$符合条件，$x=0$舍去
情况二：当$(x-1)^2 ＞ x^2$时，$min\{(x-1)^2, x^2\}=x^2$，则$x^2=1$
开平方得$x=\pm1$
由$(x-1)^2 ＞ x^2$，解得$x ＜ \frac{1}{2}$，故$x=-1$符合条件，$x=1$舍去
综上，$x$的值为$2$或$-1$