《2025年暑假集训合肥工业大学出版社六年级数学人教版》

4.一项工程,甲、乙两队合作 12 天完成,如果让甲队单独做 3 天,然后乙队再做 1 天,共完成这项工程的$\frac {3}{20}$,甲队独做这项工程需要多少天完成？

答案： 解析：
本题考查的是工程问题，涉及到工作效率、时间和工作量的关系。
设甲队单独完成这项工程需要$a$天，乙队单独完成这项工程需要$b$天，
那么甲队一天完成工程的$\frac{1}{a}$，乙队一天完成工程的$\frac{1}{b}$，
根据题目信息，甲队和乙队合作12天完成工程，可以得到方程：
$(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) × 12 = 1$
即：
$\frac{12}{a} + \frac{12}{b} = 1$
又因为甲队单独做3天，乙队再做1天，共完成工程的$\frac{3}{20}$，可以得到方程：
$\frac{3}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{20}$
为了求解这个方程组，可以从第一个方程中解出$\frac{1}{b}$：
$\frac{1}{b} = \frac{1}{12} - \frac{1}{a}$
将这个表达式代入第二个方程中，得到：
$\frac{3}{a} + \frac{1}{12} - \frac{1}{a} = \frac{3}{20}$
$\frac{2}{a} = \frac{3}{20} - \frac{1}{12}$
$\frac{2}{a} = \frac{9}{60} - \frac{5}{60}$
$\frac{2}{a} = \frac{4}{60}$
$\frac{2}{a} = \frac{1}{15}$
$a = 30$
所以，甲队单独完成这项工程需要30天。
答案：30天。

5.修一条公路,甲队每天修 6 小时,4 天可以完成；乙队每天修 8 小时,5 天可以完成。现在甲、乙两队合作,要求 2 天完成,则每天应修几小时？

答案： 解析：本题考查的是工程问题。
假设工作总量为单位“1”。
根据工作效率=工作总量÷工作时间，可得：
甲队每小时的工作效率=1÷(6×4)=1/24
乙队每小时的工作效率=1÷(8×5)=1/40
假设甲、乙两队合作每天工作z小时，可得：
(z×(1/24+1/40))×2=1
(z×(5/120+3/120))×2=1
(z×8/120)×2=1
z×16/120=1
z=120/16
解得：
z=7.5
所以，甲、乙两队合作每天应修 7.5 小时。

6.一条公路,甲队单独修需 24 天完成,乙队单独修需 30 天完成。甲、乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修 6 天完成,乙队共修了多少天？

答案： 解析：本题考查的是工程问题，涉及到工作效率、工作时间和工作量的关系。
假设工作总量为单位1。
已知甲队单独修完这条公路需要24天，那么甲队每天的工作效率就是$\frac{1}{24}$，即甲队每天能完成$\frac{1}{24}$的工程。
同理，乙队单独修完这条公路需要30天，所以乙队每天的工作效率是$\frac{1}{30}$，即乙队每天能完成$\frac{1}{30}$的工程。
设甲、乙两队合作修了x天，那么在这x天里，甲队完成了$\frac{x}{24}$的工程，乙队完成了$\frac{x}{30}$的工程。
但题目中说，甲队在乙队停工后还继续修了6天，所以甲队总共完成了$\frac{x}{24} + \frac{6}{24} = \frac{x+6}{24}$的工程。
因为两队合作和甲队单独工作加起来完成了全部的工程，即1，所以有方程：
$\frac{x+6}{24} + \frac{x}{30} = 1$
解这个方程，我们得到：
$x = 10$
所以，乙队修了10天后停工休息。
答案：10天。

7.一项工作,甲组 5 人 8 天可以完成,乙组 10 人 4 天可以完成。现在派甲组 4 人和乙组 6 人共同工作,多少天可以完成这项工作？

答案： 解析：
本题是一个工程问题，涉及到工作量、工作时间和工作效率的关系。
首先，需要计算出甲组和乙组每个人每天的工作效率，然后根据这些效率和给定的人数，计算出甲组4人和乙组6人共同工作每天可以完成的工作量，最后根据总工作量（设为1）来求出所需的工作时间。
甲组5人8天可以完成，所以甲组5人每天的工作效率是$\frac{1}{8}$，每个人每天的工作效率是$\frac{1}{8} ÷ 5 = \frac{1}{40}$。
乙组10人4天可以完成，所以乙组10人每天的工作效率是$\frac{1}{4}$，每个人每天的工作效率是$\frac{1}{4} ÷ 10 = \frac{1}{40}$。
甲组4人和乙组6人共同工作，他们每天的工作效率是$4 × \frac{1}{40} + 6 × \frac{1}{40} = \frac{1}{10} + \frac{3}{20} = \frac{1}{4}$。
所以，他们共同完成这项工作需要的时间是$1 ÷ \frac{1}{4} = 4 × \frac{1}{1} = 4 × 1 = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$（天）的$1 ÷ \frac{1}{4} = 4$（天）（或者理解为4天完成全部工作，因为每天完成$\frac{1}{4}$，所以4天完成1）。
答案：
4天。

8.一项工程,甲、乙两队合作每天能完成全工程的$\frac {9}{40}$。甲单独做 3 天,乙单独做 5 天后,可完成全工程的$\frac {7}{8}$。如果全工程由乙队单独做,多少天可以完成？

答案： 解析：
本题考查的是工程问题，涉及到合作和单独完成工程的时间与效率的关系。
首先，设全工程为1单位。
根据题目，甲、乙两队合作每天能完成全工程的 $\frac{9}{40}$，即他们的合作效率是 $\frac{9}{40}$。
甲单独做3天，乙单独做5天后，完成了全工程的 $\frac{7}{8}$。
这可以转化为甲、乙两队合作了3天（因为甲一直在工作），然后乙再单独工作2天（5天-3天=2天）。
设甲的效率为 $a$，乙的效率为 $b$，则：
$a + b = \frac{9}{40}$ （合作效率），
$3a + 5b = \frac{7}{8}$ （甲单独做3天，乙单独做5天的总效率），
将第一个方程乘以3，得到：
$3a + 3b = \frac{27}{40}$，
用这个新方程减去第二个方程，得到：
$2b = \frac{7}{8} - \frac{27}{40} = \frac{35}{40} - \frac{27}{40} = \frac{8}{40} = \frac{1}{5}$，
解得 $b = \frac{1}{10}$。
所以，乙队单独完成全工程需要的天数为：
$1 ÷ \frac{1}{10} = 10 \text{（天）}$，
答案：
如果全工程由乙队单独做，10天可以完成。

9.甲、乙两个工程队合修一段公路。甲队单独修 12 天可以修完,现由乙队先单独修 8 天,完成了全部工程的$\frac {1}{3}$,余下的两队合修,还要几天才能完成？

答案： 解析：
这是一道工程问题，主要考察工作总量的计算和工作时间、工作效率的关系。
首先，我们可以把这段公路的工作总量看作单位“1”。
甲队单独修12天可以修完，所以甲队的工作效率是$\frac{1}{12}$，
乙队先单独修8天，完成了全部工程的$\frac{1}{3}$，所以乙队的工作效率是$\frac{1}{3} ÷ 8 = \frac{1}{24}$，
然后，我们可以计算两队合作的工作效率，即$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}$，
余下的工作量是$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$，
所以，余下的两队合修还需要的时间是$\frac{2}{3} ÷ \frac{1}{8} = \frac{16}{3}$天。
答案：
余下的两队合修，还要$\frac{16}{3}$天才能完成。