《2025年暑假集训合肥工业大学出版社六年级数学人教版》

例 把一个底面直径是 $ 4 \mathrm{cm} $,高是 $ 9 \mathrm{cm} $ 的圆锥形铅锤完全浸没在一个注满水的底面周长是 $ 25.12 \mathrm{cm} $ 的圆柱形容器中,当铅锤从水中取出后,容器中的水面下降了几厘米？
【分析】 此题考查的是对圆柱和圆锥体积公式的掌握程度。在本题中圆柱形容器中下降的水的体积就是圆锥形铅锤的体积。根据公式 $ V = \frac{1}{3}\pi(\frac{d}{2})^{2}h $ 先求出铅锤的体积,再利用 $ S = \pi(\frac{C}{2\pi})^{2} $ 求出圆柱形容器的底面积,最后用体积除以底面积求出水面下降的高度。
【答案】 $ \frac{1}{3} × 3.14 × (4 ÷ 2)^{2} × 9 ÷ [3.14 × (25.12 ÷ 3.14 ÷ 2)^{2}] = 37.68 ÷ 50.24 = 0.75(\mathrm{cm}) $
答：容器中的水面下降了 $ 0.75 \mathrm{cm} $。
【点拨】 圆锥的体积等于这个底面周长是 $ 25.12 \mathrm{cm} $,高是水面下降厘米数的圆柱的体积。

答案： 【分析】
此题主要考查圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，抓住下降部分水的体积与圆锥形铅锤的体积相等是解决此类问题的关键。
首先，根据圆锥的体积公式：$V = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$，其中$r$是底面半径，$h$是高，可以求出圆锥形铅锤的体积。
然后，需要求出圆柱形容器的底面积。根据圆的周长公式：$C = 2\pi r$，可以求出容器的底面半径，进而求出底面积。
最后，由于圆锥形铅锤完全浸没在水中，所以铅锤的体积就等于水下降的体积。根据圆柱的体积公式：$V = sh$，可以求出水下降的高度。
【答案】
圆锥形铅锤的底面半径为$\frac{4}{2}=2(cm)$，
所以圆锥形铅锤的体积为：
$\frac{1}{3} × 3.14 × 2^{2} × 9 = 37.68({cm}^{3})$，
圆柱形容器的底面周长为$25.12cm$，
所以其底面半径为$\frac{25.12}{2 × 3.14}=4(cm)$，
底面积为$3.14 × 4^{2} = 50.24({cm}^{2})$，
所以，水面下降的高度为：
$37.68 ÷ 50.24 = 0.75(cm)$，
答：容器中的水面下降了$0.75cm$。

1. 一个圆锥形的沙堆,底面积是 $ 12.56 \mathrm{m}^{2} $,高 $ 6 \mathrm{m} $。用这堆沙在 $ 10 \mathrm{m} $ 宽的公路上铺 $ 20 \mathrm{cm} $ 厚的路面,能铺多少米长？

答案： 12.56×6×$\frac{1}{3}$÷10÷(20÷100)=12.56(m)

2. 做一个底面直径是 $ 4 \mathrm{dm} $,高是 $ 5 \mathrm{dm} $ 的圆柱形铁皮油桶,至少需用铁皮多少平方分米？如果每升柴油重 $ 0.85 \mathrm{kg} $,这个油桶最多可装柴油多少千克？

答案： 2×3.14×2×5+2×3.14×2²=87.92(dm²) 0.85×3.14×2²×5=53.38(kg)

3. 如下图,圆锥形容器中装有 $ 3 $ 升水,水面高度正好是圆锥高度的一半,这个容器还能装多少水？

答案： 设圆锥的底面半径为 $r$，高为 $h$，则圆锥的体积为：
$ V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h $，
当水面高度是圆锥高度的一半时，即 $ \frac{h}{2} $，此时水面的半径为 $ \frac{r}{2} $（因为水面半径与高度成正比）。
所以，水的体积为：
$ V_{\text{水}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{r^2}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{24} \pi r^2 h $，
又因为 $ V_{\text{水}} = 3 $ 升，所以有：
$ \frac{1}{24} \pi r^2 h = 3 $，
$ \pi r^2 h = 72 $，
所以，整个圆锥的体积为：
$ V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} × 72 = 24 $ 升。
所以，容器还能装的水量为：
$ V_{\text{还能装}} = V_{\text{圆锥}} - V_{\text{水}} = 24 - 3 = 21 $ 升。
答案为：这个容器还能装 21 升水。

4. 一个底面积是 $ 15 \mathrm{cm}^{2} $ 的圆柱形玻璃杯中装有 $ 3 \mathrm{cm} $ 高的水。现在把一个底面半径是 $ 1 \mathrm{cm} $,高 $ 5 \mathrm{cm} $ 的圆柱形铁棒垂直放入玻璃杯中,水面升高了多少厘米？($ \pi $ 取 $ 3 $)

答案： 铁棒体积：$V_铁 = \pi r^2 h = 3 × 1^2 × 5 = 15 \, \text{cm}^3$
设水面升高$x$厘米，此时水面高度为$(3 + x)$厘米。
水和铁棒浸入水中部分的总体积等于底面积乘以新水面高度：
$15 × 3 + 3 × 1^2 × (3 + x) = 15 × (3 + x)$
$45 + 3(3 + x) = 45 + 15x$
$45 + 9 + 3x = 45 + 15x$
$12x = 9$
$x = 0.75$
答：水面升高了$0.75$厘米。