《2025年暑假集训合肥工业大学出版社六年级数学人教版》

例 一项工程,甲队独做 10 天完成了一半,余下的甲、乙两队合作了 6 天,正好全部完成。如果由乙队单独做这项工程,多少天可以完成？
【分析】 这里把这项工程看作“1”,则甲 10 天完成的工作总量就用“$\frac {1}{2}$”来表示,甲的工效为$\frac {1}{2}÷10= \frac {1}{20}$,余下的工作总量也是“$\frac {1}{2}$”,甲、乙合作了 6 天完成,因此甲、乙的工效和是$\frac {1}{2}÷6= \frac {1}{12}$,所以乙的工效就是$\frac {1}{12}-\frac {1}{20}= \frac {1}{30}$,乙队独做所需的时间是$1÷\frac {1}{30}= 30$(天)。
【答案】 $1-\frac {1}{2}= \frac {1}{2}$ $\frac {1}{2}÷6-\frac {1}{2}÷10= \frac {1}{30}$
$1÷\frac {1}{30}= 30$(天)
答：乙队单独做这项工程,30 天可以完成。
【点拨】 此题考查典型的工程问题。

答案： 【分析】本题可将这项工程的工作总量看作单位“$1$”，根据甲队单独完成一半工程的时间求出甲队的工作效率，再结合甲乙两队合作完成剩下工程的时间求出甲乙两队的工作效率之和，进而求出乙队的工作效率，最后根据工作时间$=$工作总量$÷$工作效率求出乙队单独完成工程所需的时间。
【答案】
甲队$10$天完成了一半，即$\frac{1}{2}$，那么甲队的工作效率为：
$\frac{1}{2}÷10=\frac{1}{20}$
剩下的工作总量也是$\frac{1}{2}$，甲、乙两队合作$6$天完成，则甲、乙两队的工作效率之和为：
$\frac{1}{2}÷6=\frac{1}{12}$
乙队的工作效率为：
$\frac{1}{12}-\frac{1}{20}=\frac{5}{60}-\frac{3}{60}=\frac{1}{30}$
乙队单独完成这项工程需要的时间为：
$1÷\frac{1}{30}=30$（天）
答：乙队单独做这项工程，$30$天可以完成。

1.学校组织学生栽种一批树木。如果全由六年级学生去栽种,3 天可以完成；如果全由五年级学生去栽种,6 天可以完成。如果五、六年级的学生合作,几天可以完成？

答案： 解析：本题考查的是工程问题，涉及工作效率、工作时间和工作总量之间的关系。可以通过设定树木总数为单位“1”，进而计算两个年级每天的工作效率，最后求得合作完成所需时间。
答案：
解：设树木总数为单位“1”。
六年级学生每天的工作效率为：
$\frac{1}{3}$（因为六年级学生3天可以完成）。
五年级学生每天的工作效率为：
$\frac{1}{6}$（因为五年级学生6天可以完成）。
五、六年级学生合作每天的工作效率为：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$。
所以，五、六年级学生合作完成所需的时间为：
$1 ÷ \frac{1}{2} = 2(天)$。
答：五、六年级的学生合作，2天可以完成。

2.加工一批零件,甲单独做需 3 天完成,乙单独做需 4 天完成,两人同时加工,完成任务时,甲比乙多做 24 个。这批零件共有多少个？

答案： 解析：本题可根据工作总量、工作时间和工作效率的关系，结合甲乙的工作效率差以及工作量差来求解零件总数。
步骤一：计算甲、乙的工作效率
把工作总量看作单位“$1$”，根据工作效率$=$工作总量$÷$工作时间，可得甲的工作效率为$1÷3=\frac{1}{3}$，乙的工作效率为$1÷4=\frac{1}{4}$。
步骤二：计算甲乙合作完成工作所需的时间
根据工作时间$=$工作总量$÷$甲乙工作效率之和，可得甲乙合作完成工作需要的时间为$1÷(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})$
$=1÷(\frac{4}{12}+\frac{3}{12})$
$=1÷\frac{7}{12}$
$=\frac{12}{7}$（天）
步骤三：计算甲比乙多完成的工作量
甲每天比乙多完成的工作量为$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}$，那么$\frac{12}{7}$天甲比乙多完成的工作量为$\frac{1}{12}×\frac{12}{7}=\frac{1}{7}$。
步骤四：计算零件总数
已知甲比乙多做$24$个，且甲比乙多完成的工作量为$\frac{1}{7}$，即零件总数的$\frac{1}{7}$是$24$个，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，可得零件总数为$24÷\frac{1}{7}=24×7 = 168$（个）。
答案：
解：设这批零件共有$x$个。
甲的工作效率为$\frac{1}{3}$，乙的工作效率为$\frac{1}{4}$，两人合作完成需要的时间为$1÷(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{12}{7}$（天）。
甲每天比乙多做$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，$\frac{12}{7}$天甲比乙多做$\frac{1}{12}×\frac{12}{7}=\frac{1}{7}$。
可列方程：$\frac{1}{7}x = 24$
$x = 24÷\frac{1}{7}$
$x = 168$
答：这批零件共有$168$个。

3.有一批零件,由师傅单独做需 14 天完成,如果师徒合作,10 天可以完成。如果由徒弟单独做,多少天才能完成任务？

答案： 解析：本题考察的是工程问题，涉及到工作量、工作时间和工作效率的关系。我们可以设总工作量为单位“1”，然后根据题目信息，求出师傅和徒弟的工作效率，最后根据工作效率求出徒弟单独完成任务所需的时间。
首先，设总工作量为单位“1”。
根据题目，师傅单独做需要14天完成，所以师傅的工作效率为：
$\frac{1}{14}$
师徒合作需要10天完成，所以师徒合作的工作效率为：
$\frac{1}{10}$
徒弟的工作效率 = 师徒合作的工作效率 - 师傅的工作效率，即：
$\frac{1}{10} - \frac{1}{14} = \frac{7}{70} - \frac{5}{70} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}$
最后，根据工作效率求出徒弟单独完成任务所需的时间：
$1 ÷ \frac{1}{35} = 35$（天）
答案：35天。