《2025年暑假集训合肥工业大学出版社六年级数学人教版》

例 在一幅比例尺是$1:2000000$的地图上,量得甲、乙两地相距$2cm$,但在另一幅地图上,甲、乙两地相距$5cm$,则这幅地图的比例尺是多少？
【分析】题中甲、乙两地的实际距离是不变的,而图上距离发生了变化,则比例尺也发生了变化,先根据第一幅图中的图上距离和比例尺求出甲、乙两地的实际距离,即$2÷\frac{1}{2000000}= 4000000(cm)$。再用第二幅图中的图上距离比实际距离求出比例尺,即$5:4000000= 1:800000$。
【答案】$2÷\frac{1}{2000000}= 4000000(cm)$
$5:4000000= 1:800000$
答：这幅地图的比例尺是$1:800000$。
【点拨】此题考查学生灵活运用比例尺的知识解决实际问题的能力。

答案： 【分析】本题主要考查比例尺的应用。
首先，需要根据第一幅地图的比例尺和图上距离，计算出甲、乙两地的实际距离。
然后，利用这个实际距离和第二幅地图上的图上距离，来求出第二幅地图的比例尺。
【解答】
甲、乙两地的实际距离为：
$2 ÷ \frac{1}{2000000} = 4000000(cm)$
另一幅地图的比例尺为：
$5 : 4000000 = 1 : 800000$
答：这幅地图的比例尺是$1 : 800000$。

1. 用$\frac{1}{3},5,\frac{1}{2},7.5$这四个数组成比例,最多可写出几个不同的比例？

答案： 解析：
本题考察的是比例的意义和性质。
需要根据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，来找出所有可能的比例。
首先，可以尝试将这四个数以不同的顺序组合，并检验它们是否满足比例的性质。
经过排列组合及验证，得到以下8个不同的比例：
(1) $\frac{1}{3}:5=\frac{1}{2}:7.5$，
(2) $5:\frac{1}{3}=7.5:\frac{1}{2}$，
(3) $\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=5:7.5$，
(4) $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=7.5:5$，
(5) $\frac{1}{2}:5=\frac{1}{3}:7.5$的变形（通过交换比例的两个内项或两个外项可以得到，因此视为同一种比例的不同表现形式，不计入不同比例的数量中），但考虑到比例可以交换内项和外项的位置，我们将其视为由基本形式推导出的比例，不计入新的比例数量。同理，对于其他通过交换位置得到的比例也不再单独计数。
(6) $7.5:5=\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$（由$\frac{1}{3}:\frac{1}{2}=5:7.5$交换位置得到），
(7) $5:7.5=\frac{1}{3}:\frac{1}{2}$（由$\frac{1}{3}:5=\frac{1}{2}:7.5$交换位置并调整顺序得到，但核心比例关系未变，不过在此作为不同排列的验证），
(8) $7.5:\frac{1}{2}=5:\frac{1}{3}$（这是一个新的比例，不同于前面的任何比例）。
但需要注意的是，
(5)、
(6)、
(7)在本质上是通过
(1)、
(2)、
(3)、
(4)交换比例内项或外项的位置得到的，按照比例的性质，它们并不构成新的“不同”比例（就比例关系而言）。然而，为了展示完整的排列组合过程，这里列出了所有通过排列组合并验证得到的比例表达式。但在计数时，我们只计算基本形式，即不通过交换位置得到的比例。
因此，最多可以写出8个不同的比例（考虑到比例可以正向或反向书写，但在此我们只计算不同的比例关系，不考虑书写方向）。
答案：最多可写出8个不同的比例。

2. 一种精密仪器长$4mm$,画在图纸上是$10cm$,你能求出这幅图的比例尺吗？

答案： 10cm=100mm
比例尺=图上距离:实际距离=100:4=25:1
答：这幅图的比例尺是25:1。

3. 当甲在$60m$赛跑中冲到终点线时,比乙领先$10m$,比丙领先$20m$,如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点,那么当乙到达终点时将比丙领先多少米？

答案： 解析：本题考查的是比例的应用。
假设甲跑60米时，乙跑了50米，丙跑了40米，
根据时间一定，速度和路程成正比可得：
乙的速度:丙的速度=50:40=5:4，
当乙跑60米时，设丙跑了x米，
可得比例：
60:x=5:4
交叉相乘可得：
5x=240
两边同时除以5：
x=240÷5
解得：
x=48
所以，当乙到达终点时，丙跑了48米，
那么乙比丙领先：
60 - 48 = 12(米)
答案：12米。

4. 田叔叔开车去动物园,在比例尺是$1:200000$的地图上,量得去动物园的这条路长$15cm$。田叔叔早上$7时30$分出发,如果以平均每小时$60$千米的速度行驶,估计什么时候可以到达公园？

答案： 解析：
首先，我们需要根据比例尺计算实际距离。比例尺是$1:200000$，意味着地图上$1cm$代表实际的$200000cm$。由于地图上量得的路长是$15cm$，所以实际的距离是$15 × 200000 = 3000000cm$。
为了将这个距离转换成千米，我们需要知道$1km = 100000cm$。所以，$3000000cm =3000000 ÷ 100000 = 30km$。
接下来，我们需要计算田叔叔开车所需的时间。由于他的平均速度是$60km/h$，所以他需要的时间是$30 ÷ 60 = 0.5h$，即半小时。
最后，我们将这个时间加到他的出发时间上。他早上$7$时$30$分出发，所以估计他可以在$7$时$30$分$+30$分$=8$时到达动物园。
答案：
估计田叔叔$8$时可以到达动物园。