《2025年通城学典小升初真题汇编数学》

38. 如图①②③,计算$2^2-1^2$、$3^2-2^2$、$4^2-3^2$……算式的结果,可采用“数形结合”的方法解决。以图①中计算$2^2-1^2$的过程为例,先构造两个边长分别为1和2的正方形,算式$2^2-1^2$的结果即可转化成涂色长方形的面积,再把这个构造与转化过程用算式表示并算出结果:$2^2-1^2= (2+1)×(2-1)= 3$。
(1) 先观察图②和图③的构造与转化过程,再用算式表示并算出结果。(2分)
$3^2-2^2= ( )×( )= ( )$ $4^2-3^2= ( )×( )= ( )$
(2) 请在图④的方框处画出对应的转化过程。(1分)
(3) 若将上面的算式用字母表示为$(n+1)^2-n^2$,则$(n+1)^2-n^2= ( )×( )= ( )$。(1分)
(4) 从第(1)~(3)题继续往下思考,如果想得到形如$(n+2)^2-n^2$的算式结果,那么怎样运用“数形结合”的方法构造与转化?
① 先在草稿纸上举几个形如$(n+2)^2-n^2$的算式例子,尝试用图形构造、转化,并用算式把过程表示出来;再从你举的几个例子中,结合图⑤的方框大小,选取一个合适的算式,将这个算式用图形构造与转化的过程在方格图中画出来。(2分)
② 根据几次的尝试和思考,试着把对$(n+2)^2-n^2$结果的猜想写出来:$(n+2)^2-n^2= ( )×( )= ( )$。(1分)

答案：

(1)3+2　3−2　5　4+3　4−3　7
(2)如图所示
(3)n+1+n　n+1−n　2n+1
(4)①答案不唯一,如图所示　②n+2+n n+2−n　4n+4