《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

21. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CB=2,AB=$\sqrt{13}$,点D在AC上,且CD=CB,E是AC上一点(不与点A,C重合),过点E作EF⊥AC交AB于点F,设AE=x,△AEF与△ABD重叠部分的面积为S.
(1)求AD的长;
(2)求S关于x的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围.

答案：
解:
(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
　　AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{13})^{2}-2^{2}} = 3$
　
∵CD=CB=2,
∴AD=AC−CD=3−2=1.
(2)当点E在点D的左侧，即0＜x≤1时，
　
∵EF⊥AC,BC⊥AC,
∴∠AEF=∠C=90°.
　
∴EF//BC.
　
∴△ABC∽△AFE.
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{CB}{EF}$.
∴$\frac{AC}{CB}$=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{3}{2}$.
　
∵AE=x,
∴EF=$\frac{2}{3}$x.
　
∴S=S△AEF=$\frac{1}{2}$AE·EF=$\frac{1}{2}$x·$\frac{2}{3}$x=$\frac{1}{3}$x².
　　当点E在点D的右侧，即1＜x＜3时，如图，设EF交BD于点G.
　　　　　　
　　由
(1),知AD=1.
∴DE=AE−AD=x−1.
　
∵EF//BC,
∴△DEG∽△DCB.
　
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{EG}{CB}$.
∴$\frac{DE}{EG}$=$\frac{DC}{CB}$=$\frac{2}{2}$=1.
　
∴GE=DE=x−1.
∴S=S△AEF−S△DEG=$\frac{1}{3}$x²−$\frac{1}{2}$(x−1)²=−$\frac{1}{6}$x²+x−$\frac{1}{2}$.
综上所述,S=$\begin{cases}\frac{1}{3}x^{2}(0＜ x\leqslant1)\\-\frac{1}{6}x^{2}+x-\frac{1}{2}(1＜ x＜3)\end{cases}$