《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

22. (本小题12分)
淄星原创 抛物线 $y = ax^{2}-2ax + c$ 与x轴交于 $A(-1,0)$，B两点，与y轴交于点C.
(1)求点B的坐标；
(2)点 $M(3a + 4,y_{1})$，$N(2a + 1,y_{2})$，若 $y_{1}\gt c\gt y_{2}$，求a的取值范围；
(3)若 $C(0,3)$，E为抛物线的顶点，过点C的直线l与x轴负半轴交于点F，与直线BE交于点G.当 $\triangle BFG$ 是等腰三角形时，求直线l的解析式.

答案：
解：
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2} - 2ax + c$，
$\therefore$对称轴为直线$x = -\frac{-2a}{2a} = 1$。
根据题意，得点$B$与点$A(-1,0)$关于对称轴对称。
$\therefore x_{B} - 1 = 1 - x_{A}$，即$x_{B} = 2 - (-1) = 3$。
$\therefore$点$B$的坐标为$(3,0)$。
(2)如图1，当$a ＞ 0$时，过点$C$作$x$轴的平行线交抛物线于另一点$D$。
根据对称的性质，得$D(2,c)$。
$\because y_{1} ＞ c$，$\therefore$点$M$位于$CD$上方的抛物线上。
$\therefore 3a + 4 ＜ 0$或$3a + 4 ＞ 2$。解得$a ＜ -\frac{4}{3}$或$a ＞ -\frac{2}{3}$。
$\because y_{2} ＜ c$，$\therefore$点$N$位于$CD$下方的抛物线上。
$\therefore 0 ＜ 2a + 1 ＜ 2$。解得$-\frac{1}{2} ＜ a ＜ \frac{1}{2}$。
$\because a ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$。
如图2，当$a ＜ 0$时，过点$C$作$x$轴的平行线交抛物线于另一点$D$。
同理，得点$D(2,c)$。
$\because y_{1} ＞ c$，$\therefore$点$M$位于$CD$上方的抛物线上。
$\therefore 0 ＜ 3a + 4 ＜ 2$。解得$-\frac{4}{3} ＜ a ＜ -\frac{2}{3}$。
$\because y_{2} ＜ c$，$\therefore$点$N$位于$CD$下方的抛物线上。
$\therefore 2a + 1 ＜ 0$或$2a + 1 ＞ 2$。解得$a ＜ -\frac{1}{2}$或$a ＞ \frac{1}{2}$。
$\because a ＜ 0$，$\therefore -\frac{4}{3} ＜ a ＜ -\frac{2}{3}$。
综上所述，$a$的取值范围是$0 ＜ a ＜ \frac{1}{2}$或$-\frac{4}{3} ＜ a ＜ -\frac{2}{3}$。


(3)将点$A(-1,0)$，$C(0,3)$代入$y = ax^{2} - 2ax + c$，得$\begin{cases}a + 2a + c = 0 \\ c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\ c = 3\end{cases}$。
$\therefore y = -x^{2} + 2x + 3 = -(x - 1)^{2} + 4$。
$\therefore$点$E(1,4)$。
①当$BF = BG$时，如图3，过点$E$作$EH// FG$交$x$轴于点$H$，过点$E$作$EK\perp x$轴于点$K$。
$\therefore K(1,0)$，$EK = 4$。
由
(1)，知$B(3,0)$。$\therefore BK = 2$。
在$\text{Rt}\triangle EKB$中，根据勾股定理，得$BE = \sqrt{BK^{2} + EK^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$。
$\because BG = BF$，$\therefore \angle BGF = \angle BFG$。
$\because EH// FG$，$\therefore \angle BEH = \angle BGF$，$\angle BHE = \angle BFG$。
$\therefore \angle BHE = \angle BEH$。$\therefore BH = BE = 2\sqrt{5}$。
$\therefore OH = BH - BO = 2\sqrt{5} - 3$。$\therefore H(3 - 2\sqrt{5},0)$。
设直线$EH$的解析式为$y = mx + n$。
将点$E(1,4)$，$H(3 - 2\sqrt{5},0)$代入，得$\begin{cases}m + n = 4 \\ (3 - 2\sqrt{5})m + n = 0\end{cases}$。解得$\begin{cases}m = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \\ n = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}\end{cases}$。
$\therefore$直线$EH$的解析式为$y = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}x + \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$。
$\because EH// FG$，$\therefore$设直线$l$的解析式为$y = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}x + b$。
将点$C(0,3)$代入，得$b = 3$。
$\therefore$直线$l$的解析式为$y = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}x + 3$。
②当$BF = GF$时，如图4，过点$E$作$EH// FG$交$x$轴于点$H$，过点$E$作$EK\perp x$轴于点$K$。
同理①，得$K(1,0)$，$EK = 4$，$BE = 2\sqrt{5}$。
$\because EH// FG$，$BF = GF$，$\therefore \angle HEB = \angle FGB = \angle FBG$。
$\therefore BH = EH$。
设点$H$的坐标为$(h,0)$。
$\therefore EH = BH = 3 - h$，$HK = 1 - h$。
在$\text{Rt}\triangle EHK$中，根据勾股定理，$EH^{2} = HK^{2} + EK^{2}$。
$\therefore (3 - h)^{2} = (1 - h)^{2} + 4^{2}$。解得$h = -2$。
$\therefore H(-2,0)$。
设直线$EH$的解析式为$y = sx + t$。
将点$E(1,4)$，$H(-2,0)$代入，得$\begin{cases}s + t = 4 \\ -2s + t = 0\end{cases}$。
解得$\begin{cases}s = \frac{4}{3} \\ t = \frac{8}{3}\end{cases}$。
$\therefore$直线$EH$的解析式为$y = \frac{4}{3}x + \frac{8}{3}$。
同理，得直线$l$的解析式为$y = \frac{4}{3}x + 3$。
③当$BG = FG$时，如图5，过点$E$作$EH// FG$交$x$轴于点$H$，过点$E$作$EK\perp x$轴于点$K$。
$\because EH// FG$，$BG = FG$，
$\therefore \angle EHB = \angle GFB = \angle GBF$。
$\therefore EH = EB$。
$\because EK\perp x$轴，
$\therefore HK = BK$，即点$A$与点$H$重合。
$\therefore H(-1,0)$。
同理，得直线$EH$的解析式为$y = 2x + 2$。
$\therefore$直线$l$的解析式为$y = 2x + 3$。
综上所述，直线$l$的解析式为$y = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}x + 3$或$y = \frac{4}{3}x + 3$或$y = 2x + 3$。