《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

1. 下列关于抛物线$y = x^{2}+2x - 3$的说法中，正确的是 （ ）
①开口方向向上；②对称轴是直线$x = - 2$；③当$x ＜ - 1$时，$y$随$x$的增大而减小；④当$x ＜ - 1$或$x ＞ 3$时，$y ＞ 0$.
A. ①③
B. ①④
C. ①③④
D. ①②③

答案： A

2. 九上教材P35例3变式在平面直角坐标系中，将抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式是 （ ）
A. $y=\frac{1}{3}(x - 2)^{2}-1$
B. $y=\frac{1}{3}(x - 2)^{2}+1$
C. $y=\frac{1}{3}(x + 2)^{2}-1$
D. $y=\frac{1}{3}(x + 2)^{2}+1$

答案： B

3. 如图是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象，其对称轴为直线$x = 1$，下列结论：①$abc＞0$；②$2a + b = 0$；③$4a - 2b + c＜0$；④若$(-3,y_{1})$，$(4,y_{2})$是抛物线上的两点，则$y_{1}＜y_{2}$. 其中正确的是 （ ）

A. ①②
B. ②③④
C. ②④
D. ①③④

答案： B

4. 已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象经过点$(0,-2)$和$(1,-2)$.
（1）求该二次函数的解析式和对称轴；
（2）当$-1\leqslant x\leqslant3$时，求该二次函数的最大值和最小值.

答案： 解：
(1)将点$(0, - 2)$，$(1, - 2)$代入$y = x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}-2 = c\\-2 = 1 + b + c\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=-1\\c = - 2\end{cases}$。
∴该二次函数的解析式为$y = x^{2}-x - 2$。
∴对称轴为直线$x=-\frac{-1}{2\times1}=\frac{1}{2}$。
(2)由
(1)，知$y = x^{2}-x - 2=(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{9}{4}$。
∵$1＞0$，$-1\leqslant x\leqslant3$，
∴当$x=\frac{1}{2}$时，$y$有最小值，最小值为$-\frac{9}{4}$。
∵直线$x = 3$距直线$x=\frac{1}{2}$最远，
∴当$x = 3$时，$y$有最大值，最大值为$y = 3^{2}-3 - 2 = 4$。