《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

20. (本小题9分)
塑料大棚(如图1)是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟.一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成(如图2)，矩形的一边BC为12 m，另一边AB为2 m.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(规定一个单位长度代表1 m).抛物线的顶点E的坐标为 $(0,8)$，其横截面有三根支架EF，GH，MN(三根支架均垂直于地面BC)，且 $BH = HF = FN = NC$.
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)已知大棚共有支架300根(EF，GH，MN各100根)，为了增加大棚内的空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后 $AE'D$ 仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到点 $E'$(如图3).若增加的支架($GG'$，$EE'$，$MM'$)单价为60元/m(接口忽略不计)，要使增加支架的费用不超过12 000元，求大棚向上调整的高度 $EE'$ 的最大值.
　　　 　　　　

答案： 解：
(1)根据题意，得抛物线的顶点$E(0,8)$，点$A$的坐标为$(-6,2)$。
$\therefore$设抛物线的函数解析式为$y = ax^{2} + 8$。
将点$A(-6,2)$代入，得$2 = 36a + 8$。解得$a = -\frac{1}{6}$。
$\therefore$此抛物线的函数解析式为$y = -\frac{1}{6}x^{2} + 8$。
(2)$\because BH = HF = FN = NC$，$BC = 12$，$\therefore HF = FN = 3$。
在$y = -\frac{1}{6}x^{2} + 8$中，令$x = 3$，得$y = -\frac{1}{6}\times9 + 8 = \frac{13}{2}$。
$\therefore M(3,\frac{13}{2})$。
根据抛物线的对称性，得$G(-3,\frac{13}{2})$。
$\therefore GH = MN = \frac{13}{2}$。
设$EE' = d$，则$E'(0,d + 8)$。
设调整后抛物线的解析式为$y = bx^{2} + d + 8$。
将点$A(-6,2)$代入，得$36b + d + 8 = 2$。
$\therefore b = \frac{-6 - d}{36}$。$\therefore y = \frac{-6 - d}{36}x^{2} + d + 8$。
令$x = 3$，得$y = \frac{-6 - d}{36}\times9 + d + 8 = \frac{3}{4}d + \frac{13}{2}$。
$\therefore M'(3,\frac{3}{4}d + \frac{13}{2})$。同理，得$G'(-3,\frac{3}{4}d + \frac{13}{2})$。
$\therefore GG' = MM' = \frac{3}{4}d + \frac{13}{2} - \frac{13}{2} = \frac{3}{4}d$。
$\therefore GG' + EE' + MM' = \frac{3}{4}d + d + \frac{3}{4}d = \frac{5}{2}d$。
根据题意，得$\frac{5}{2}d\times100\times60\leqslant12000$。解得$d\leqslant\frac{4}{5}$。
答：大棚向上调整的高度$EE'$的最大值为$\frac{4}{5}\ \text{m}$。