《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

15. 九上教材P23数学活动变式 如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点……第$n$行有$n$个点……容易发现，前4行共有10个点.若三角形点阵中前$a$行共有45个点，则$a$的值为________.

答案： 9

16. (每题5分，共10分)
解方程：(1)$3x(2x + 1)=4x + 2$；
(2)$2x^{2}+5x + 1 = 0$.

答案：
(1) $x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$
(2) $x_1=\frac{-5-\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-5+\sqrt{17}}{4}$

17. (本小题8分)
2024安徽期末 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(k - 3)x + k - 5 = 0$.
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当$k = 11$时，该方程的两个根分别是菱形$ABCD$的两条对角线的长，求菱形$ABCD$的面积.

答案： 解:
(1) 证明：$\because x^2-(k - 3)x + k - 5 = 0$，
　　$\therefore\Delta=[-(k - 3)]^2-4\times1\times(k - 5)=k^2-10k + 29=(k - 5)^2+4$。
　　$\because(k - 5)^2\geqslant0,\therefore\Delta=(k - 5)^2+4＞0$。
　　$\therefore$该方程总有两个不相等的实数根。
(2) 当$k = 11$时，原方程为$x^2-8x + 6 = 0$。
　　设该方程的两个根分别是$x_1,x_2$。$\therefore x_1x_2 = 6$。
　　$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}\times6 = 3$。