《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

14. 如图，一次函数$y_{1}=k_{1}x + b$与反比例函数$y_{2}=\frac{k_{2}}{x}$的图象交于$A(-2,-1)$，$B(1,2)$两点，则当$k_{1}x + b\lt\frac{k_{2}}{x}$时，$x$的取值范围是 （ ）

A. $x\lt - 2$或$x\gt1$
B. $-2\lt x\lt1$
C. $-2\lt x\lt0$或$0\lt x\lt1$
D. $x\lt - 2$或$0\lt x\lt1$

答案： D

15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y = - x + b$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x\lt0)$的图象相交于点$A(-1,6)$，并与$x$轴交于点$C$.$D(1,4)$是线段$AC$上一点，连接$AO$，$DO$.
（1）$k =$________，$b =$________；
（2）$P$为第一象限直线$AC$上一点，连接$OP$，将$OP$绕点$O$逆时针旋转90°得到$OP'$，若点$P'$在反比例函数的图象上，求点$P$的坐标；
（3）$Q$为$y$轴上一点，若$S_{\triangle ODA}=S_{\triangle ODQ}$，求点$Q$的坐标.

答案：
解:
(1) - 6;5
(2)如图，过点P作PN⊥x轴于点N，过点P'作P'M⊥x轴于点M.
　
∴∠P'MO = ∠ONP = 90°.
　
∴∠MP'O + ∠P'OM = 90°.
　　由
(1),知一次函数的解析式为y = - x + 5.
　设点P(m, - m + 5),且0 ＜ m ＜ 5.
∴PN = - m + 5,ON = m.
　　由旋转的性质,得∠POP' = 90°,OP' = OP.
　
∴∠NOP + ∠P'OM = 90°.
∴∠MP'O = ∠NOP.
　　又∠P'MO = ∠ONP,OP' = PO,
∴△P'MO≌△ONP.
　
∴P'M = ON = m,OM = PN = - m + 5.
　
∴P'(m - 5,m).
　
∵点P'在反比例函数的图象上，
∴m(m - 5) = - 6.
　　解得m₁ = 2,m₂ = 3.
　
∴点P的坐标为(2,3)或(3,2).
　　　　　　　　
(3)在y = - x + 5中,令y = 0,得x = 5.
　
∴C(5,0).
∴OC = 5.
　
∴S△ODA = S△OAC - S△ODC = $\frac{1}{2}$OC·yA - $\frac{1}{2}$OC·yD = $\frac{1}{2}$×5×6 - $\frac{1}{2}$×5×4 = 5.
　　设点Q的坐标为(0,a).
∴OQ = |a|.
　
∵S△ODA = S△ODQ = 5,
∴$\frac{1}{2}$OQ·xD = 5,即|a| = 10.
　
∴a = 10或a = - 10.
　
∴点Q的坐标为(0,10)或(0, - 10).