《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

23.(本小题13分)
淄星原创 如图，已知点 $F(-1,0)$，$G(0,2)$，直线 $FG$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x ＞ 0)$ 的图象交于点 $A$，过点 $A$ 作 $AB\perp y$ 轴于点 $B$，$G$ 是 $OB$ 的中点.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点 $C(m,0)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，过点 $C$ 作 $CD\perp x$ 轴，交反比例函数于点 $D$，垂足为 $C$，连接 $AD$.
①求证：$AD// BC$；
②若 $BC = 2AD$，求 $m$ 的值.
　　　　　　　　　　 　　　　

答案：
解:
(1)
∵点F(−1,0),G(0,2),
∴FO=1,OG=2.
　
∵G是OB的中点，
∴BG=0G=2,OB=2OG=4.
　
∵AB⊥y轴,
∴∠ABG=90°=∠F0G.
　　又BG=OG,∠AGB=∠FGO,
∴△AGB≌△FGO.
∴AB=FO=1.
∴点A(1,4).
　　将点A(1,4)代入y=$\frac{k}{x}$,得k=1×4=4.
　
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$(x＞0).
(2)①证明:如图1,延长DA交y轴于点E.
　
∵C(m,0),CD⊥x轴,
∴点D的横坐标为m，∠0CD=90°=∠FOG.
∴CD/OE.
　　将x=m代入y=$\frac{4}{x}$,得y=.
∴D(m,$\frac{4}{m}$.
　
∴CD=4.
　　　　　m
　　设直线AD的函数解析式为y=ax十b.
　　　　　　　　　　　　　　　　a+b=4,
　　将点A(1,4),D(m,$\frac{4}{m}$)代入,得ma+b=　　.
　　　　　　　　　　　　　　　{　　　　　$\frac{4}{m}$
　　解得a　　　m4,
　　　　b=4+4.
　　　　　　　m
　　　{
　
∴直线AD的函数解析式为y　　　m4x+4+$\frac{4}{m}$.
　　令x=0,得y=4+$\frac{4}{m}$.
∴E(0,4+$\frac{4}{m}${,即OE=4+4m.
∴BE=OE−OB=4+$\frac{4}{m}$−4=$\frac{4}{772}$.
∴BE=CD.
又CD//BE,
∴四边形BCDE是平行四边形.
∴ED//BC,即AD//BC.
　　　　　　
②如图2,当点D在点A的下方时，过点A作AN⊥x轴于点N,过点D作DM⊥AN于点M,延长DA交y轴于点E.
∴∠DMA=∠DMN=∠MNC=∠MNO=90°=
∠BON=∠ABO=∠ABE=∠DCN.
∴四边形ABON和四边形CDMN均是矩形.
∴DM=NC=OC−ON=m−1.
由①，知四边形BCDE是平行四边形.
∴DE=BC=2AD.
∴AE=AD.
∵∠ANC=∠BON,
∴AN//轴.
∴∠BEA=∠MAD.
又∠ABE=∠DMA,AE=DA,
∴△ABE≌△DMA.
∴AB=DM,即1=m−1.解得m=2.
　　　 　
如图3,当点D在点A的上方时，设AB,CD交于点P,取BC的中点H,连接GH.
∵G是OB的中点，H是BC的中点，
∴GH是△BOC的中位线，HB=$\frac{1}{2}$BC.
∴GH//OC,GH=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$m.
∴∠BGH=∠BOC=90°.
∵BC=2AD,
∴HB=AD.
∵AB//x轴,DC⊥x轴，
∴AB//GH,∠DPA=90°=∠BGH.
∴∠GHB=∠ABC.
∵AD//BC,,
∴∠PAD=∠ABC=∠GHB.
又∠BGH=∠DPA,HB=AD,
∴△BGH≌△DPA.
∴GH=PA=$\frac{1}{2}$m.
∴BP=AB−PA=1−$\frac{1}{2}$m.
∵∠ABO=∠BOC=∠DCO=90°,
∴四边形BOCP是矩形.
∴BP=OC.
∴1−$\frac{1}{2}$m=m.解得m=$\frac{2}{3}$.
综上所述,m的值为2或$\frac{2}{3}$.