《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

22.(本小题12分)
　　淄星原创阅读材料:
　　在平面直角坐标系中，点A(4,2),M是x轴上一动点，连接AM,将AM绕点M顺时针旋转90°得到NM,求点N运动轨迹的函数解析式.
　　①小健的解法:如图1,过点M作BC//轴,分别过点A,N作AB⊥BC,NC⊥BC,垂足分别为B，
C.设点N(m,n).根据旋转的性质，得AM=MN,∠AMN=90°.根据“AAS"判定△ABM≌△MCN.∴AB=MC=−n,BM=CN=2.∴M(m−2,0).∴AB=4−(m−2)=6−m.∴−n=
　　　6−m,即n=m−6.∴点N运动轨迹的函数解析式为y=x−6.
　　②小康的解法:如图2,在x轴上取一点B(6,0),将MB绕点M顺时针旋转90°得到线段MC,连接
CN,CB,AB,过点A作AE⊥x轴于点E.∵A(4,2),B(6,0),∴AE=BE=2.∴∠MBA=45°.
　　　根据旋转的性质，得AM=MN,BM=CM，∠AMN=∠BMC=90°.∴∠AMB=∠NMC,∠MCB=∠MBC=45°.∴△AMB≌△NMC.∴∠MCN=∠MBA=45°=∠MCB.∴点N在直线BC上.设BC的延长线与y轴交于点D.，∴OB=OD=6.利用点B(6,0),D(0,−6),可求得直线BD的函数解析式为y=x−6.
　　方法应用:
　　(1)如图3,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D是AC上一点，连接DB,将线段DB 绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,连接AE,BE,求AE十BE的最小值;
　　思维应用:
　　(2)如图4,线段AB=12,C是AB的中点,把BC绕点B逆时针旋转a°(0＜a＜180)得到BD,将
AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接BE,求BE的最小值及此时a的值.
　　　　 　　 　 　　

答案：
解：
(1)如图 1，延长$AC$到点$F$，使$CF = AC$，过点$D$作$DG\perp DF$于点$D$，且$DG = DF$，连接$BF$，$GF$，$EG$。
$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，
$\therefore BC\perp AF$，$\angle BAC=\angle ABC = 45^{\circ}$。
又$CF = AC$，$\therefore BC$垂直平分$AF$。$\therefore BA = BF$。
$\therefore\angle BFD=\angle BAC = 45^{\circ}$。
根据旋转的性质，得$DE = DB$，$\angle BDE = 90^{\circ}$。
$\because DG\perp DF$，$DG = DF$，$\therefore\angle GDF=\angle BDE = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle DGF=\angle DFG = 45^{\circ}$。
$\therefore\angle GDE+\angle EDF=\angle FDB+\angle EDF = 90^{\circ}$，$\angle BFG=\angle BFD+\angle DFG = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle GDE=\angle FDB$。
又$DG = DF$，$DE = DB$，$\therefore\triangle GDE\cong\triangle FDB$。
$\therefore\angle DGE=\angle DFB = 45^{\circ}$。$\therefore\angle DGE=\angle DGF$。
$\therefore$点$G$，$E$，$F$在同一条直线上。
$\therefore$点$E$的运动轨迹为直线$FG$。
延长$BF$到点$H$，使得$FH = FB$，连接$AH$，$EH$。
$\because\angle BFG = 90^{\circ}$，$\therefore FG$垂直平分$BH$。$\therefore BE = EH$。
$\therefore AE + BE = AE + EH\geqslant AH$，即$AE + BE$的最小值为$AH$的长。
过点$H$作$HM\perp AF$交$AF$的延长线于点$M$，则$\angle HMF = 90^{\circ}=\angle BCF$。
又$FH = FB$，$\angle HFM=\angle BFC$，
$\therefore\triangle HFM\cong\triangle BFC$。
$\therefore MH = CB = 2$，$MF = CF = AC = 2$。
$\therefore AM = AC + CF + MF = 2 + 2 + 2 = 6$。
在$Rt\triangle AMH$中，根据勾股定理，得
$AH=\sqrt{AM^{2}+MH^{2}}=\sqrt{6^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{10}$。
$\therefore AE + BE$的最小值为$2\sqrt{10}$。

(2)如图 2，将$AB$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$AF$，连接$BF$，$EF$。
$\therefore AB = AF$，$\angle BAF = 60^{\circ}$。
$\therefore\triangle ABF$是等边三角形。$\therefore AB = AF = BF = 12$。
根据旋转的性质，得$AE = AD$，$\angle DAE = 60^{\circ}$。
$\therefore\angle DAE=\angle BAF$。
$\therefore\angle BAD+\angle BAE=\angle FAE+\angle BAE$。
$\therefore\angle BAD=\angle FAE$。$\therefore\triangle BAD\cong\triangle FAE$。
$\therefore BD = FE$，$\angle DBA=\angle EFA$。
$\because C$是$AB$的中点，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times12 = 6$。
根据旋转的性质，得$BD = BC = 6$，$\angle DBA = a^{\circ}$。
$\therefore FE = BD = 6$，$\