《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

22.(本小题12分)
星原创 如图1是一个圆形窗户，图2是其几何示意图，AC是⊙O的直径，AB = 1.2m，BC = $\frac{\sqrt{3}}{5}$m，∠ABC = 150°.
(1)求⊙O的半径；
(2)M是AB上一点，过点M作MN⊥BC交⊙O的下半部分于点N，求MN的最大值.

答案：
解：
(1)如图1，延长$CB$交$\odot O$于点$D$，连接$AD$。
$\because\angle ABC = 150^{\circ}$，
$\therefore\angle ABD = 180^{\circ}-\angle ABC = 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，$\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$。
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times1.2 = 0.6(m)$。
在$Rt\triangle ADB$中，根据勾股定理，得
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{1.2^{2}-0.6^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{5}(m)$。
$\therefore CD = BD + BC=\frac{3\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}=\frac{4\sqrt{3}}{5}(m)$。
在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理，得
$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{0.6^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{5})^{2}}=\frac{\sqrt{57}}{5}(m)$。
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{57}}{10}m$。
$\therefore\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{57}}{10}m$。
　　　
(2)如图2，设$MN\perp BC$交$CB$的延长线于点$E$，过点$N$作$NF\perp AB$于点$F$。
$\therefore\angle MEB=\angle MFN = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle ABD+\angle BME = 90^{\circ}$，$\angle MNF+\angle BME = 90^{\circ}$。
$\therefore\angle ABD=\angle MNF = 30^{\circ}$。
$\therefore$在$Rt\triangle NMF$中，$MF=\frac{1}{2}MN$。
根据勾股定理，得
$NF=\sqrt{MN^{2}-MF^{2}}=\sqrt{MN^{2}-(\frac{1}{2}MN)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}MN$。
$\therefore$当$NF$有最大值时，$MN$有最大值，即当直线$NF$经过点$O$时，$NF$有最大值。
$\therefore$连接$OF$，即点$N$，$F$，$O$在一条直线上，延长$AB$交$\odot O$于点$G$，连接$CG$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，$\therefore\angle AGC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle CGB$中，$\because\angle CBG=\angle ABD = 30^{\circ}$，
$\therefore CG=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{3}}{10}m$。
根据勾股定理，得
$BG=\sqrt{BC^{2}-CG^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{5})^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{10})^{2}}=\frac{3}{10}(m)$。
$\therefore AG = AB + BG = 1.2+\frac{3}{10}=\frac{3}{2}(m)$。
$\because ON\perp AB$，$\therefore AF=\frac{1}{2}AG=\frac{3}{4}m$。
在$Rt\triangle AOF$中，根据勾股定理，得
$OF=\sqrt{OA^{2}-AF^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{57}}{10})^{2}-(\frac{3}{4})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{20}(m)$。
$\therefore NF = ON - OF = (\frac{\sqrt{57}}{10}-\frac{\sqrt{3}}{20})m$。
$\because NF=\frac{\sqrt{3}}{2}MN$，$\therefore MN=\frac{2\sqrt{3}}{3}NF=\frac{2\sqrt{3}}{3}\times(\frac{\sqrt{57}}{10}-\frac{\sqrt{3}}{20})=\frac{2\sqrt{19}-1}{10}(m)$。
$\therefore MN$的最大值为$\frac{2\sqrt{19}-1}{10}m$。