《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

23. (本小题13分)
星原创 如图1，在平面直角坐标系中，矩形$ABCO$的边$OC$，$OA$分别在$x$轴、$y$轴上，点$B(4,3)$，点$P$从点$A$出发沿$AC - CB$方向匀速运动到终点$B$，同时点$Q$以每秒1个单位长度的速度从点$C$出发，沿$CO$方向运动到终点$O$，点$P$，$Q$同时到达终点，设点$P$的运动时间为$t$ s.
(1)点$P$的运动速度为每秒________个单位长度；当点$P$在$AC$上时，点$P$的坐标为________(用含$t$的代数式表示)；
(2)当$\triangle APQ$的面积是$\triangle CPQ$面积的2倍时，求$t$的值；
(3)如图2，过点$P$作$PE\perp AB$于点$E$，当$\triangle EPQ$的面积是$\frac{3}{5}$时，求$t$的值.
　　 　　 　　

答案：
解:
(1) $2$；$(\frac{8}{5}t,-\frac{6}{5}t + 3)$
(2) 当点$P$在$AC$上，即$0\leqslant t\leqslant\frac{5}{2}$时，$AP = 2t$。
　　$\because S_{\triangle APQ}=2S_{\triangle CPQ},\therefore AP = 2CP = 2t$，即$CP = t$。
　　$\because$四边形$ABCO$是矩形，$B(4,3)$，
　　$\therefore OC = 4,OA = BC = 3$。
　在$Rt\triangle AOC$中，根据勾股定理，得
　$AC=\sqrt{OA^2 + OC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
　　$\because AC = AP + CP,\therefore5 = 2t + t$。解得$t=\frac{5}{3}$。
　当点$P$在$BC$上，即$\frac{5}{2}＜t\leqslant4$时，
　　$\because AC + CP = 2t,AC + CB = 5 + 3 = 8$，
　　$\therefore BP = 8 - 2t,CP = 2t - 5$。
　　$\because CQ = t,\therefore OQ = 4 - t$。
　　$\therefore S_{\triangle APQ}=S_{矩形ABCO}-S_{\triangle APB}-S_{\triangle AOQ}-S_{\triangle CPQ}=OC\cdot OA-\frac{1}{2}AB\cdot BP-\frac{1}{2}OA\cdot OQ-\frac{1}{2}CQ\cdot CP=4\times3-\frac{1}{2}\times4\times(8 - 2t)-\frac{1}{2}\times3\times(4 - t)-\frac{1}{2}t\times(2t - 5)=-t^2 + 8t - 10$。
　　$\because S_{\triangle APQ}=2S_{\triangle CPQ},\therefore-t^2 + 8t - 10 = 2\times\frac{1}{2}t\times(2t - 5)$。
解得$t_1 = 1$（不合题意，舍去），$t_2=\frac{10}{3}$。
综上所述，当$\triangle APQ$的面积是$\triangle CPQ$面积的$2$倍时，$t$的值为$\frac{5}{3}$或$\frac{10}{3}$。
　
(3) ① 当点$P$在$AC$上，点$Q$在点$P$右侧，即$0\leqslant t\leqslant\frac{20}{13}$时，如图2。
$\because P(\frac{8}{5}t,-\frac{6}{5}t + 3),PE\perp AB,\therefore E(\frac{8}{5}t,3)$。
$\therefore PE = 3-(-\frac{6}{5}t + 3)=\frac{6}{5}t$。
由
(2)，知$OQ = 4 - t$。$\therefore Q(4 - t,0)$。
$\therefore S_{\triangle EPQ}=\frac{1}{2}PE\times(x_Q - x_P)$，即$\frac{3}{5}=\frac{1}{2}\times\frac{6}{5}t\times(4 - t-\frac{8}{5}t)$。解得$t_1=\frac{10+\sqrt{35}}{13},t_2=\frac{10-\sqrt{35}}{13}$。

② 当点$P$在$AC$上，点$Q$在点$P$左侧，即$\frac{20}{13}＜t\leqslant\frac{5}{2}$时，如图3。
$\therefore S_{\triangle EPQ}=\frac{1}{2}PE\times(x_P - x_Q)=\frac{1}{2}\times\frac{6}{5}t\times(\frac{8}{5}t - 4 + t)$，
即$\frac{3}{5}=\frac{1}{2}\times\frac{6}{5}t\times(\frac{8}{5}t - 4 + t)$。
解得$t_3=\frac{10+\sqrt{165}}{13},t_4=\frac{10-\sqrt{165}}{13}$（不合题意，舍去）。

③ 当点$P$在$BC$上，即$\frac{5}{2}＜t\leqslant4$时，如图4。
此时点$B$与点$E$重合。
$\therefore PE = PB = 8 - 2t$。
$\therefore S_{\triangle EPQ}=\frac{1}{2}PE\times CQ$，即$\frac{3}{5}=\frac{1}{2}\times(8 - 2t)\times t$。
解得$t_5=\frac{10+\sqrt{85}}{5},t_6=\frac{10-\sqrt{85}}{5}$（不合题意，舍去）。

综上所述，当$\triangle EPQ$的面积是$\frac{3}{5}$时，$t$的值为$\frac{10+\sqrt{35}}{13}$或$\frac{10-\sqrt{35}}{13}$或$\frac{10+\sqrt{165}}{13}$或$\frac{10+\sqrt{85}}{5}$。