《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

17. 已知△ABC≌△DEC，AB = AC，AB＞BC.
（1）如图1，若CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；
（2）如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD = ∠BCD，求∠ADB的度数.
　　 　 　

答案：
解：
(1)证明：$\because\triangle ABC\cong\triangle DEC$，$\therefore AC = DC$.
$\because AB = AC$，$\therefore\angle ABC=\angle ACB$，$AB = DC$.
$\because CB$平分$\angle ACD$，$\therefore\angle DCB=\angle ACB$.
$\therefore\angle ABC=\angle DCB$. $\therefore AB// DC$.
$\therefore$四边形$ABDC$是平行四边形.
又$AB = AC$，$\therefore$四边形$ABDC$是菱形.
(2)$\angle ACE+\angle EFC = 180^{\circ}$.
证明：$\because\triangle ABC\cong\triangle DEC$，$\therefore\angle ABC=\angle DEC$.
$\because AB = AC$，$\therefore\angle ABC=\angle ACB$. $\therefore\angle ACB=\angle DEC$.
$\because\angle ACB+\angle ACF=\angle DEC+\angle CEF = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle ACF=\angle CEF$.
$\because\angle CEF+\angle ECF+\angle EFC = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle ACF+\angle ECF+\angle EFC = 180^{\circ}$.
$\therefore\angle ACE+\angle EFC = 180^{\circ}$.
(3)如图，在$AD$上取点$M$，使$AM = BC$，连接$BM$.
$\because\angle BAD=\angle BCD$，$AB = CD$，$\therefore\triangle AMB\cong\triangle CBD$.
$\therefore BM = DB$，$\angle ABM=\angle CDB$. $\therefore\angle BMD=\angle BDM$.
$\because\angle BMD=\angle BAD+\angle ABM$，
$\therefore\angle ADB=\angle BCD+\angle BDC$.
设$\angle BCD=\angle BAD=\alpha$，$\angle BDC=\beta$，则$\angle ADB=\alpha+\beta$.
$\because CA = CD$，$\therefore\angle CAD=\angle CDA=\alpha + 2\beta$.
$\therefore\angle BAC=\angle CAD-\angle BAD = 2\beta$.
$\therefore\angle ACB=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-2\beta)=90^{\circ}-\beta$.
$\therefore\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD = 90^{\circ}-\beta+\alpha$.
$\because\angle ACD+\angle CAD+\angle CDA = 180^{\circ}$，
$\therefore 90^{\circ}-\beta+\alpha+\alpha + 2\beta+\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$.
$\therefore\alpha+\beta = 30^{\circ}$，即$\angle ADB = 30^{\circ}$.
　　　　　　　　

1. 2024河北期末 下列运动属于旋转的是 （ ）
A. 足球在草地上滚动
B. 火箭升空的运动
C. 汽车在急刹车时向前滑行
D. 钟表的钟摆的摆动

答案： D