《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

4.2021年7月1日是建党100周年纪念日，在当月月历表上可以用小方框圈出四个数(如图所示),圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积能否为33或65？若能,求出最小的数;若不能,请说明理由.

答案： 解：最小数与最大数的乘积不能为$33$，可以为$65$.理由如下：设最小的数为$x$.根据题意，得$x(x + 8)=33$.解得$x_{1}=-11$（不合题意，舍去），$x_{2}=3$.由表格，知$x = 3$不符合实际，故舍去.根据题意，得$x(x + 8)=65$.解得$x_{1}=-13$（不合题意，舍去），$x_{2}=5$.$\therefore$最小数与最大数的乘积不能为$33$，可以为$65$，此时最小的数是$5$.

5.如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,动点P,Q分别以3cm/s,2cm/s的速度从点A,C同时出发，点Q从点C向点D移动.
　(1)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,则经过多长时间,P,Q两点之间的距离是10cm？
　(2)若点P沿着AB→BC→CD移动,点Q从点C移动到点D 停止时，点P随点Q的停止而停止移动,试求经过多长时间,△PBQ的面积为12cm².

答案：
解：
(1)如图，过点$P$作$PE\perp CD$于点$E$.$\therefore$四边形$APED$是矩形.$\therefore PE=AD=BC = 6 cm$，$DE=AP$.设$x s$后，$P$，$Q$两点之间的距离是$10 cm$，则$DE=AP = 3x$，$CQ=2x$.$\therefore QE=16 - 2x-3x=16 - 5x$.在$Rt\triangle PEQ$中，根据勾股定理，$QE^{2}+PE^{2}=PQ^{2}$.$\therefore(16 - 5x)^{2}+6^{2}=10^{2}$.解得$x_{1}=\frac{8}{5}$，$x_{2}=\frac{24}{5}$.$\therefore$经过$\frac{8}{5} s$或$\frac{24}{5} s$时，$P$，$Q$两点之间的距离是$10 cm$.
(2)如图，连接$BQ$.设经过$y s$时，$\triangle PBQ$的面积为$12 cm^{2}$，则$CQ=2y$.
①当$0\leqslant y\leqslant\frac{16}{3}$时，$PB=16 - 3y$.$\therefore\frac{1}{2}PB\cdot BC=12$，即$\frac{1}{2}(16 - 3y)\times6=12$.解得$y = 4$.
②当$\frac{16}{3}＜y\leqslant\frac{22}{3}$时，$BP=3y - AB=3y - 16$.$\therefore\frac{1}{2}BP\cdot CQ=12$，即$\frac{1}{2}(3y - 16)\times2y=12$.解得$y_{1}=6$，$y_{2}=-\frac{2}{3}$（不合题意，舍去）.
③当$\frac{22}{3}＜y\leqslant8$时，$QP=CQ - CP=2y-(3y - 16 - 6)=22 - y$.$\therefore\frac{1}{2}QP\cdot BC=12$，即$\frac{1}{2}(22 - y)\times6=12$.解得$y = 18$（不合题意，舍去）.综上所述，经过$4 s$或$6 s$时，$\triangle PBQ$的面积为$12 cm^{2}$.