《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

26. 如图，△ABC内接于⊙O，$\angle ABC = 45^{\circ}$，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作$CE// AD$与BA的延长线交于点E.
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若$AD = 4$，$\angle D = 60^{\circ}$，求线段BC的长.

答案：
解：
(1)证明：如图，连接OC.
　
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC}$，∠ABC = 45°，
∴∠AOC = 2∠ABC = 90°.
　
∵CE//AD，
∴∠AOC+∠OCE = 180°.
　
∴∠OCE = 180°−∠AOC = 180°−90°=90°.
　
∴OC⊥CE.
　
∵OC为⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线.
　　　　　　　　　
(2)如图，过点A作AF⊥BC于点F.
　
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD = 90°.
　
∵∠D = 60°，
∴∠BAD = 30°.
　
∴BD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×4 = 2.
　　在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
　　AB=$\sqrt{AD^{2}-BD^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$.
　
∵∠ABC = 45°，AF⊥BC，
　
∴∠BAF = 90°−∠ABC = 45°=∠ABF.
　
∴AF = BF.
　　在Rt△ABF中，根据勾股定理，AB²=AF²+BF²=2BF².
　
∴AF = BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{6}$.
　　在Rt△AOC中，
∵OA = OC=$\frac{1}{2}$AD = 2，
　
∴根据勾股定理，得AC=$\sqrt{OA^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$.
　
∴在Rt△AFC中，根据勾股定理，得
　　CF=$\sqrt{AC^{2}-AF^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}=\sqrt{2}$.
　
∴BC = BF + CF=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$.