《2025年中考快递同步检测九年级数学全一册人教版》

20.(本小题9分)
　　如图,在△ABC中,∠ACB=60°,延长BC至点D,使CD=BC,连接AD,将AD绕点A顺时针旋转60°至AE,连接CE.
　　(1)求证:∠EAC=∠D;
　　(2)找出与CE相等的线段，并证明.
　　

答案：
解：
(1)证明：$\because\angle ACB = 60^{\circ}$，$\therefore\angle DAC+\angle D = 60^{\circ}$。
根据旋转的性质，得$\angle DAE = 60^{\circ}$，$AD = AE$。
$\therefore\angle EAC+\angle DAC = 60^{\circ}$。$\therefore\angle EAC=\angle D$。
(2)$CE = AB$。
证明：如图，延长$CB$至点$F$，使$CF = CA$，连接$AF$，$FE$。
$\because\angle ACB = 60^{\circ}$，$CF = CA$，$\therefore\triangle ACF$是等边三角形。
$\therefore\angle CAF=\angle AFC = 60^{\circ}=\angle DAE$，$AC = AF = CF$。
$\therefore\angle CAF-\angle CAE=\angle DAE-\angle CAE$，即$\angle EAF=\angle DAC$。
又$AE = AD$，$AF = AC$，$\therefore\triangle AFE\cong\triangle ACD$。
$\therefore\angle AFE=\angle ACD = 120^{\circ}$，$FE = CD$。
$\because CD = BC$，$\therefore FE = BC$。
又$\angle CFE=\angle AFE-\angle AFC = 60^{\circ}=\angle ACB$，$CF = AC$，
$\therefore\triangle CFE\cong\triangle ACB$。$\therefore CE = AB$。