《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

旋转作图的步骤：（1）找出图形的______；（2）确定旋转______、旋转______和旋转______；（3）作出______的对应点；（4）按图形的顺序连接______，得到旋转后的图形。

答案：

1. 如图，已知菱形$OABC$的顶点$O(0,0)$，$B(2,2)$，若菱形绕点$O$逆时针旋转，每秒旋转$45^{\circ}$，则第$60$秒时，菱形对角线的交点$D$的坐标为（ ）

A.$(1,-1)$
B.$(-1,-1)$
C.$(\sqrt{2},0)$
D.$(0,-\sqrt{2})$

答案：

2. 如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$C$在$x$轴上，点$C$的坐标为$(-1,0)$，$AC = 2$，将$Rt\triangle ABC$先绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$，再向右平移$3$个单位长度，则变换后点$A$对应点的坐标是（ ）

A.$(2,2)$
B.$(1,2)$
C.$(-1,2)$
D.$(2,-1)$

答案：

3. 如图，将$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle EDC$。若点$A$，$D$，$E$在同一条直线上，$\angle ACB = 20^{\circ}$，则$\angle ADC$的度数是（ ）

A.$55^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案：

4. 如图，等边三角形$ABC$的边长为$4$，点$O$是$\triangle ABC$的中心，$\angle FOG = 120^{\circ}$，绕点$O$旋转$\angle FOG$，分别交线段$AB$，$BC$于$D$，$E$两点，连接$DE$，给出下列四个结论：① $OD = OE$；② $S_{\triangle ODE} = S_{\triangle BDE}$；③ 四边形$ODBE$的面积始终等于$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；④ $\triangle BDE$的周长的最小值为$6$。上述结论正确的个数是（ ）

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案：

5. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知$\triangle ABC$。
（1）将$\triangle ABC$向$x$轴负半轴方向平移$4$个单位长度得到$\triangle A_1B_1C_1$，画出图形并写出点$A_1$的坐标；
（2）以原点$O$为旋转中心，将$\triangle ABC$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A_2B_2C_2$，画出图形并写出点$A_2$的坐标；
（3）$\triangle A_2B_2C_2$可以看作是由$\triangle A_1B_1C_1$先向右平移$4$个单位长度，然后以原点$O$为旋转中心，顺时针旋转$90^{\circ}$得到的。除此之外，$\triangle A_2B_2C_2$还可以由$\triangle A_1B_1C_1$怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形变换的步骤。

答案：

1. 如图，已知在平面直角坐标系$xOy$中，$\triangle A'B'C'$由$\triangle ABC$绕点$P$旋转得到，则点$P$的坐标为______。

答案：

2. 如图，已知在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = BC = \sqrt{2}$，将$\triangle ABC$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$到$\triangle AB'C'$的位置，连接$C'B$，则$C'B =$______。

答案：

3. 如图，$P$是等边三角形$ABC$内一点，将线段$AP$绕点$A$顺时针旋转$60^{\circ}$得到线段$AQ$，连接$BQ$。若$PA = 6$，$PB = 8$，$PC = 10$，则四边形$APBQ$的面积为______。

答案：

4. 如图，将$\triangle ABC$绕点$C$按顺时针旋转至$\triangle A'B'C$，使点$A'$落在$BC$的延长线上。已知$\angle A = 27^{\circ}$，$\angle B = 40^{\circ}$，则$\angle ACB' =$______。

答案：

5. 如图，将边长为$\sqrt{3}$的正方形绕点$B$逆时针旋转$30^{\circ}$，图中阴影部分的面积为（ ）

A.$3$
B.$\sqrt{3}$
C.$3 - \sqrt{3}$
D.$3 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：

6. 如图，矩形$ABCD$绕点$B$逆时针旋转$30^{\circ}$后得到矩形$A_1BC_1D_1$，$C_1D_1$与$AD$交于点$M$，延长$DA$交$A_1D_1$于点$F$，若$AB = 1$，$BC = \sqrt{3}$，则$AF$的长度为（ ）

A.$2 - \sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3} - 1}{3}$
C.$\frac{3 - \sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3} - 1$

答案：

7. 如图，已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$AC = 2$，$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转得$\triangle A_1B_1C$，当$A_1$落在边$AB$上时，连接$B_1B$，取$BB_1$的中点$D$，连接$A_1D$，则$A_1D$的长度是（ ）

A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3$
D.$2\sqrt{3}$

答案：

8. 图①、图②是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为$1$，线段$AC$的两个端点均在小正方形的顶点上。
（1）如图①，点$P$在小正方形的顶点上，在图①中作出点$P$关于直线$AC$的对称点$Q$，连接$AQ$，$QC$，$CP$，$PA$，并直接写出四边形$AQCP$的周长；
（2）在图②中画出一个以线段$AC$为对角线、面积为$6$的矩形$ABCD$，且点$B$和点$D$均在小正方形的顶点上。

答案：

9. 在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$AC = BC = 5$，将$\triangle ABC$绕点$A$按顺时针旋转，得到$\triangle ADE$，旋转角为$\alpha(0^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ})$，点$B$的对应点为点$D$，点$C$的对应点为点$E$，连接$BD$，$BE$。
（1）如图，当$\alpha = 60^{\circ}$时，延长$BE$交$AD$于点$F$。
① 求证：$\triangle ABD$是等边三角形；
② 求证：$BF \perp AD$，$AF = DF$；
③ 求出$BE$的长；
（2）在旋转过程中，过点$D$作$DG$垂直于直线$AB$，垂足为$G$，连接$CE$，当$\angle DAG = \angle ACB$，且线段$DG$与线段$AE$无公共点时，求出$BE + CE$的值。

答案：

10. 如图，已知点$O$为正方形$ABCD$的中心，分别延长$OA$，$OD$到点$F$，$E$，使$OF = 2OA$，$OE = 2OD$，连接$EF$。将$\triangle EOF$绕点$O$逆时针旋转角$\alpha$得到$\triangle E_1OF_1$，连接$AE_1$，$BF_1$，$OB$。
（1）探究$AE_1$与$BF_1$的数量关系，并给予证明；
（2）当$\alpha = 30^{\circ}$时，求证：$\triangle AOE_1$为直角三角形。

答案：