《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是______的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式：______. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______.

答案：

2. 一元二次方程的解法
(1)配方法
如果方程能化成 $x^{2}=p$ 或 $(mx + n)^{2}=p$($p\geqslant0$)的形式，那么可得______或______.
将一个一元二次方程配成______形式来解的方法，叫做配方法.
(2)公式法
① 将方程化成一般形式 $ax^{2}+bx + c = 0$($a\neq0$)；
② 计算______；
③ 求出 $x_{1,2}=$______.
(3)因式分解法
将方程先因式分解化成两个一次式的______等于 $0$ 的形式，再使这两个一次式分别等于 $0$，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.

答案：

3. 已知关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+2x - 3 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $a$ 的取值范围为______.

答案：

4. 已知 $a,b$ 是方程 $x^{2}+x - 2023 = 0$ 的两个实数根，则 $(a - 1)(b - 1)$ 的值为______.

答案：

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+2x + 2 - c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $\frac{1}{a}+c$ 的值为______.

答案：

6. 已知 $a$ 是方程 $2x^{2}=x + 4$ 的一个根，则代数式 $4a^{2}-2a$ 的值是______.

答案：

7. 已知一个三角形两边的长分别为 $3$ 和 $6$，第三边的长为方程 $x^{2}-10x + 21 = 0$ 的根，则三角形的周长为______.

答案：

8. 若 $2n$（$n\neq0$）是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2mx + 2n = 0$ 的根，则 $m - n$ 的值为______.

答案：

9. 若 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x - 2 = 0$ 的两个实数根，$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=$______.

答案：

10. 已知 $m^{2}-2m - 1 = 0$，$n^{2}+2n - 1 = 0$，且 $mn\neq1$，则 $\frac{mn + n + 1}{n}$ 的值为______.

答案：

11. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{1}{2x_{1}+1}+\frac{1}{2x_{2}+1}$ 的值是______.

答案：

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 5)x^{2}+2x + 2 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的最大整数解是______.

答案：

13. 设 $a,b$ 是方程 $x^{2}+x - 2024 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2}+2a + b = 0$ 的值为（ ）

A.$2024$
B.$2023$
C.$2022$
D.$2021$

答案：

14. 已知等腰三角形的三边长分别为 $a,b,4$，且 $a,b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-12x + m + 2 = 0$ 的两个根，则 $m$ 的值是（ ）

A.$34$
B.$30$
C.$30$ 或 $34$
D.$30$ 或 $36$

答案：

15. 解下列方程：
（1）$(2x + 3)^{2}-25 = 0$；（直接开平方法）
（2）$2x^{2}-7x - 2 = 0$；（配方法）
（3）$(x + 2)^{2}=3(x + 2)$；（因式分解法）
（4）$2x^{2}+x - 6 = 0$.（公式法）

答案：

16. 已知一元二次方程 $x^{2}-2x-\frac{5}{4}=0$ 的某个根，也是一元二次方程 $x^{2}-(k + 2)x+\frac{9}{4}=0$ 的根，求 $k$ 的值.

答案：

17. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(m + 2)x+(2m - 1)=0$.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是 $1$，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.

答案：

18. 先化简，再求值：$(x - 1)÷(\frac{2}{x + 1}-1)$，其中 $x$ 为方程 $x^{2}+3x + 2 = 0$ 的根.

答案：

19. 已知一元二次方程 $x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若 $\triangle ABC$ 的两边 $AB,AC$ 的长是这个方程的两个实数根，第三边 $BC$ 的长为 $5$. 当 $\triangle ABC$ 是等腰三角形时，求 $k$ 的值.

答案：

20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 3)(x - 2)=\vert m\vert$.
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 $1$，求 $m$ 的值及方程的另一根.

答案：

21. 某商店销售某种商品，平均每天可售出 $20$ 件，每件盈利 $40$ 元. 为了扩大利益、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 $25$ 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 $1$ 元，平均每天可多售出 $2$ 件.
（1）若降低 $3$ 元，则平均每天销售数量为______件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 $1200$ 元？

答案：

22. 随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加.
（1）该市的养老床位数从 $2021$ 年底的 $2$ 万个增长到 $2023$ 年底的 $2.88$ 万个，求该市这两年（从 $2021$ 年底到 $2023$ 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；
（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共 $100$ 间，这三类养老专用房间分别为单人间（$1$ 个养老床位），双人间（$2$ 个养老床位），三人间（$3$ 个养老床位），因实际需要，单人间房间数在 $10$ 至 $30$ 之间（包括 $10$ 和 $30$），且双人间的房间数是单人间的 $2$ 倍. 设规划建造单人间的房间数为 $t$.
① 若该养老中心建成后可提供养老床位 $200$ 个，求 $t$ 的值；
② 该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？ 最少提供养老床位多少个？

答案：