《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 函数$y = ax^{2}+bx + c$是二次函数的条件是______，其图象是一条______。

答案：

2. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$配方后为$y=$______，其对称轴为______，顶点坐标为______，抛物线$y = ax^{2}(a\neq0)$与抛物线$y = a(x + m)^{2}+n(a\neq0)$的关系是______。

答案：

3. 抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
(1) 当$a$______时，开口向上。当$x$______时，$y$随$x$的增大而增大，当$x$______时，$y$随$x$的增大而减小；
(2) 当$a$______时，开口向下，当$x$______时，$y$随$x$的增大而增大，当$x$______时，$y$随$x$的增大而减小。

答案：

4. 二次函数的表达式一般有三种：(1)______，(2)______，(3)______。

答案：

5. 函数$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$为常数，且$a\neq0)$，经过点$(-1,0)$，$(m,0)$，且$1\lt m\lt2$。当$x\lt -1$时，$y$随$x$的增大而减小。下列结论：①$abc\gt0$；②$a + b\lt0$；③ 如果点$A(-3,y_{1})$，$B(3,y_{2})$在抛物线上，那么$y_{1}\lt y_{2}$；④$a(m - 1)+b = 0$；⑤ 当$c\leqslant -1$时，$b^{2}-4ac\leqslant4a$。其中结论正确的有______。(填序号)

答案：

6. 如图，已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的对称轴为直线$x = 1$，则下列结论错误的是（ ）

A.$ac\lt0$
B.$b^{2}-4ac\gt0$
C.$2a - b = 0$
D.$a - b + c = 0$

答案：

7. 已知抛物线$y = x^{2}+(m + 1)x + m$，当$x = 1$时，$y\gt0$，且当$x\lt -2$时，$y$的值随$x$值的增大而减小，则$m$的取值范围是（ ）

A.$m\gt -1$
B.$m\lt3$
C.$-1\lt m\leqslant3$
D.$3\lt m\leqslant4$

答案：

8. 如图，$\triangle ABC$为等边三角形，点$P$从$A$出发，沿$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$做匀速运动，则线段$AP$的长度$y$关于运动时间$x$的函数图象大致是（ ）

答案：

9. 如图是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象，对于下列说法：①$ac\gt0$；②$2a + b\gt0$；③$4ac\lt b^{2}$；④$a + b + c\lt0$；⑤ 当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小。其中正确的是（ ）

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.③④⑤

答案：

10. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，对称轴是直线$x = 1$。下列结论：①$abc\lt0$；②$3a + c\gt0$；③$(a + c)^{2}-b^{2}\lt0$；④$a + b\leqslant m(am + b)$（$m$为实数）。其中正确结论的个数为（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：

11. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的部分图象如图所示，图象过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x = 1$，下列结论：①$abc\lt0$；②$b\lt c$；③$3a + c = 0$；④ 当$y\gt0$时，$-1\lt x\lt3$。其中正确的结论有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案：

12. 如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\gt0)$的图象与$x$轴交于两点$(x_{1},0)$，$(2,0)$，其中$0\lt x_{1}\lt1$。下列四个结论：①$abc\lt0$；②$2a - c\gt0$；③$a + 2b + 4c\gt0$；④$\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}\lt -4$。其中正确结论的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：

13. 已知一次函数$y_{1}=kx + m(k\neq0)$和二次函数$y_{2}=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的自变量和对应函数值如下表：
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $4$ | $\cdots$ |
| $y_{1}$ | $\cdots$ | $0$ | $1$ | $3$ | $5$ | $\cdots$ |
| $x$ | $\cdots$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $4$ | $\cdots$ |
| $y_{2}$ | $\cdots$ | $0$ | $-4$ | $0$ | $5$ | $\cdots$ |
当$y_{2}\gt y_{1}$时，自变量$x$的取值范围是（ ）

A.$x\lt -1$
B.$x\gt4$
C.$-1\lt x\lt4$
D.$x\lt -1$或$x\gt4$

答案：

14. 已知点$A(1,y_{1})$，$B(2,y_{2})$在抛物线$y = -(x + 1)^{2}+2$上，则下列结论正确的是（ ）

A.$2\gt y_{1}\gt y_{2}$
B.$2\gt y_{2}\gt y_{1}$
C.$y_{1}\gt y_{2}\gt2$
D.$y_{2}\gt y_{1}\gt2$

答案：

15. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，下列结论：①$b\lt2a$；②$a + 2c - b\gt0$；③$b\gt a\gt c$；④$b^{2}+2ac\lt3ab$。其中正确结论的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案：

16. 若抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴为$x = -1$，与$x$轴的一个交点在$(-3,0)$和$(-2,0)$之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①$b^{2}-4ac\gt0$；②$2a = b$；③ 点$(-\frac{7}{2},y_{1})$，$(-\frac{3}{2},y_{2})$，$(\frac{5}{4},y_{3})$是该抛物线上的点，且$y_{1}\lt y_{2}\lt y_{3}$；④$3b + 2c\lt0$；⑤$t(at + b)\leqslant a - b$（$t$为任意实数）。其中正确结论的个数是（ ）

A.2
B.3
C.4
D.5

答案：

17. 已知二次函数$y = ax^{2}-bx - 2(a\neq0)$的图象的顶点在第四象限，且过点$(-1,0)$，当$a - b$为整数时，$ab$的值为（ ）

A.$\frac{3}{4}$或$1$
B.$\frac{1}{4}$或$1$
C.$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$

答案：

18. 若$m,n(n\lt m)$是关于$x$的一元二次方程$1-(x - a)(x - b)=0$的两个根，且$b\lt a$，则$m$，$n$，$b$，$a$的大小关系是（ ）

A.$m\lt a\lt b\lt n$
B.$a\lt m\lt n\lt b$
C.$b\lt n\lt m\lt a$
D.$n\lt b\lt a\lt m$

答案：

19. 如图，抛物线与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(2,0)$，点$C$的坐标为$(0,3)$，它的对称轴是直线$x = -\frac{1}{2}$。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) $M$是线段$AB$上的任意一点，当$\triangle MBC$为等腰三角形时，求点$M$的坐标。

答案：

20. 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为$AB$（单位：$m$），现以$AB$所在直线为$x$轴，以抛物线的对称轴为$y$轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为$O$，已知$AB = 8m$，设抛物线解析式为$y = ax^{2}-4$。
(1) 求$a$的值；
(2) 点$C(-1,m)$是抛物线上一点，连接$CO$并延长到点$D$，使$OD = OC$，连接$BC$，$BD$，求$\triangle BCD$的面积。

答案：

21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+bx + 4$与$x$轴的一个交点为$A(-2,0)$，与$y$轴的交点为$C$，对称轴是直线$x = 3$，对称轴与$x$轴交于点$B$。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 经过点$B$，$C$的直线$l$平移后与抛物线交于点$M$，与$x$轴交于点$N$，当以$B$，$C$，$M$，$N$为顶点的四边形是平行四边形时，求出点$M$的坐标；
(3) 若点$D$在$x$轴上，在抛物线上是否存在点$P$，使得$\triangle PBD\cong\triangle PBC$？若存在，直接写出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：