《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = x^{2} $ 的图象开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，$ x $ 取任何实数，对应的 $ y $ 值总是______数。

答案：

2. 若点 $ A(3,m) $ 是抛物线 $ y = -x^{2} $ 上一点，则 $ m = $______。

答案：

3. 函数 $ y = x^{2} $ 与 $ y = -x^{2} $ 的图象关于______对称，也可以认为函数 $ y = -x^{2} $ 的图象是由函数 $ y = x^{2} $ 的图象绕______旋转 $ 180^{\circ} $ 得到。

答案：

4. 对于二次函数 $ y = x^{2} $，思考下列问题：
(1) 你能描述函数图象的形状吗？
(2) 函数图象与 $ x $ 轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
(3) 当 $ x ＜ 0 $ 时，随着 $ x $ 的增大，$ y $ 的值如何变化？当 $ x ＞ 0 $ 时呢？
(4) 当 $ x $ 取什么值时，$ y $ 的值最小？
(5) 函数图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同学交流。

答案：

1. 若二次函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的图象过点 $ P(2,-8) $，则函数的解析式为______。

答案：

2. 点 $ A(\frac{1}{2},b) $ 是抛物线 $ y = x^{2} $ 上的一点，则 $ b = $______；点 $ A $ 关于 $ y $ 轴的对称点 $ B $ 的坐标是______，它在函数______上；点 $ A $ 关于原点的对称点 $ C $ 的坐标是______，它在函数______上。

答案：

3. 如图，$ A $，$ B $ 分别为抛物线 $ y = x^{2} $ 上两点，且线段 $ AB \perp y $ 轴，若 $ AB = 6 $，则直线 $ AB $ 的解析式为（ ）

A.$ y = 3 $
B.$ y = 6 $
C.$ y = 9 $
D.$ y = 36 $

答案：

4. 在同一平面直角坐标系中，作出函数：① $ y = -3x^{2} $；② $ y = 3x^{2} $；③ $ y = \frac{1}{2}x^{2} $；④ $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象，并根据图象回答问题：
(1) 当 $ x = 2 $ 时，$ y = \frac{1}{2}x^{2} $ 比 $ y = 3x^{2} $ 大（或小）多少？
(2) 当 $ x = -2 $ 时，$ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 比 $ y = -3x^{2} $ 大（或小）多少？

答案：

5. 已知抛物线 $ y = ax^{2} $ 经过点 $ A(-3,18) $。
(1) 求此抛物线的函数关系式，并画出它的图象；
(2) 由图象可知，当 $ x = $______时，该函数有最______值是______，当 $ x $______时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；
(3) 判断点 $ B(-1,4) $ 是否在此抛物线上；
(4) 求出此抛物线上纵坐标为 $ 6 $ 的点的坐标。

答案：

6. 一个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是 $ y $ 轴且过点 $ (-1,-2) $。
(1) 求函数的解析式，画出图象；
(2) 说明函数的增减性；
(3) 求函数的最大值或最小值；
(4) 若平行于 $ x $ 轴的直线与此抛物线相交于 $ A $，$ B $ 两点，且 $ AB = 4 $，求 $ \triangle OAB $ 的面积。

答案：

1. 二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象如图所示。该函数的关系式为______。如果另一个函数的图象与该图象关于 $ x $ 轴对称，那么这个函数的关系式为______。

答案：

2. 直线 $ y = kx + b $ 与抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^{2} $ 交于 $ A(x_{1},y_{1}) $，$ B(x_{2},y_{2}) $ 两点，当 $ OA \perp OB $ 时，直线 $ AB $ 恒过一个定点，该定点的坐标为______。

答案：

3. 已知点 $ A(-1,y_{1}) $，$ B(-2,y_{2}) $，$ C(-\sqrt{2},y_{3}) $ 在函数 $ y = \frac{1}{4}x^{2} $ 的图象上，则 $ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $ 的大小关系是（ ）

A.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
B.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $
C.$ y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1} $
D.$ y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1} $

答案：

4. 对于函数 $ y = x^{2} $，由其图象可知，下列判断中，正确的是（ ）

A.若 $ m $，$ n $ 互为相反数，则 $ x = m $ 与 $ x = n $ 对应的函数值相等
B.对于同一自变量 $ x $，有两个函数值与之对应
C.对于任意一个实数 $ y $，有两个 $ x $ 值与之对应
D.对于任何实数 $ x $，都有 $ y ＞ 0 $

答案：

5. 抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^{2} $，$ y = x^{2} $，$ y = -x^{2} $ 的共同性质是① 都是开口向上；② 都以点 $ (0,0) $ 为顶点；③ 都以 $ y $ 轴为对称轴；④ 都关于 $ x $ 轴对称。其中正确的个数是（ ）

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案：

6. 已知二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象经过点 $ A(\frac{1}{2},-\frac{1}{8}) $，$ B(3,m) $。
(1) 求 $ a $ 与 $ m $ 的值；
(2) 写出该图象上点 $ B $ 的对称点的坐标；
(3) 当 $ x $ 取何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(4) 当 $ x $ 取何值时，$ y $ 有最大值（或最小值）？

答案：