《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

2. 如图，将边长为 $4\ cm$ 的正方形 $ABCD$ 的一边 $BC$ 与直角边分别是 $2\ cm$ 和 $4\ cm$ 的 $Rt\triangle GEF$ 的一边 $GF$ 重合. 正方形 $ABCD$ 以 $1\ cm/s$ 的速度沿 $GE$ 向右匀速运动，当点 $A$ 和点 $E$ 重合时正方形停止运动. 设正方形的运动时间为 $t\ s$，正方形 $ABCD$ 与 $Rt\triangle GEF$ 重叠部分的面积为 $S\ cm^2$，则 $S$ 关于 $t$ 的函数图象为（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：

1. 矩形的周长为 $20$，一边长为 $x$，面积为 $y$，则 $y$ 与 $x$ 的关系式是__________.

答案：

2. 把一根长 $30\ cm$ 的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正三角形，它们的面积和的最小值是______$cm^2$.

答案：

3. 某养鸡场要用长 $100\ m$ 的篱笆搭 $4$ 间鸡舍，如图，其中一面靠墙（足够长）. 若设另一面篱笆的长为 $x\ m$，则整个鸡舍的面积 $S$（单位：$m^2$）与 $x$（单位：$m$）之间的函数关系式是__________，鸡舍的最大面积为______$m^2$.

答案：

4. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 12\ mm$，$BC = 24\ mm$，动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $AB$ 向点 $B$ 以 $2\ mm/s$ 的速度移动（不与点 $B$ 重合），动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $BC$ 向点 $C$ 以 $4\ mm/s$ 的速度移动（不与点 $C$ 重合）. 如果动点 $P$，$Q$ 分别从点 $A$，$B$ 同时出发，那么经过______$s$，四边形 $APQC$ 的面积最小.

答案：

5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(3,0)$，$B(-1,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 $D(0,3)$ 作直线 $MN // x$ 轴，点 $P$ 在直线 $MN$ 上，且 $S_{\triangle PAC} = S_{\triangle DBC}$，直接写出点 $P$ 的坐标.

答案：

1. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示. 由四个边长均为 $3\ m$ 小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同，阴影部分不种植. 其中的一个小正方形 $ABCD$ 如图乙所示，$DG = 1\ m$，$AE = AF = x\ m$，在五边形 $EFBCG$ 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积 $y$（单位：$m^2$）与 $x$（单位：$m$）的函数图象大致是（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：

2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $ABCD$ 是菱形，点 $B$ 的坐标是 $(0,4)$，点 $D$ 的坐标是 $(8\sqrt{3},4)$，$P$ 和 $Q$ 是两个动点，其中点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $BA$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度做匀速运动，到点 $A$ 后停止，同时点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $BC \to CD$ 以每秒 $4$ 个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动. 设 $P$，$Q$ 的运动时间为 $x$，$\triangle BPQ$ 的面积为 $y$，下列图象中能表示 $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象大致是（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：

3. 如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿 $DF$ 折叠，使点 $A$ 落在边 $CD$ 上点 $E$ 处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点 $C$ 再次折叠，使得点 $B$ 落在边 $CD$ 上点 $B'$ 处，如图③，两次折痕交于点 $O$；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接 $OB$，$OE$，$OC$，$FD$，如图④.
【探究】
（1）求证：$\triangle OBC \cong \triangle OED$；
（2）若 $AB = 8$，设 $BC$ 为 $x$，$OB^2$ 为 $y$，求 $y$ 关于 $x$ 的关系式.

答案：

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AD = 4\ cm$，$AB = 3\ cm$，$E$ 为边 $BC$ 上一点，$BE = AB$，连接 $AE$. 动点 $P$，$Q$ 从点 $A$ 同时出发，点 $P$ 以 $\sqrt{2}\ cm/s$ 的速度沿 $AE$ 向终点 $E$ 运动；点 $Q$ 以 $2\ cm/s$ 的速度沿折线 $AD \to DC$ 向终点 $C$ 运动，设点 $Q$ 运动时间为 $x$（单位：$s$），在运动过程中，点 $P$，点 $Q$ 经过的路线与线段 $PQ$ 围成的图形的面积为 $y$（单位：$cm^2$）.
（1）$AE =$______$cm$，$\angle EAD =$______；
（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；
（3）当 $PQ = \frac{5}{4}\ cm$ 时，直接写出 $x$ 的值.

答案：