《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 二次函数 $ y = x^{2} + 2x - 3 = (x + \_\_\_)^{2} \_\_\_ $，则二次函数 $ y = x^{2} + 2x - 3 $ 的图象可以看成是由 $ y = x^{2} $ 的图象先向 \_\_\_ 平移 \_\_\_ 单位长度，再向 \_\_\_ 平移 \_\_\_ 单位长度得到；对称轴为 \_\_\_ ，顶点坐标为 \_\_\_ ；当 $ x \_\_\_ $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，当 $ x \_\_\_ $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案：

2. 一般地，我们可以通过配方求抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的顶点与对称轴，即 $ y = ax^{2} + bx + c = a(x + \_\_\_)^{2} + \_\_\_ $，因此，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的对称轴是 \_\_\_ ，顶点坐标为 \_\_\_ 。

答案：

1. 将函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 3x + \frac{1}{2} $ 化成 $ y = a(x + m)^{2} + k $ 的形式是 \_\_\_ ，其图象的开口 \_\_\_ ，顶点坐标是 \_\_\_ ，对称轴是 \_\_\_ 。

答案：

2. 若函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示，则一次函数 $ y = ax + bc $ 的图象不经过第 \_\_\_ 象限。

答案：

3. 对于二次函数 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} + x - 4 $，下列说法正确的是（ ）

A.当 $ x ＞ 0 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B.当 $ x = 2 $ 时， $ y $ 有最大值 $ - 3 $
C.图象的顶点坐标为 $ (-2, -7) $
D.图象与 $ x $ 轴有两个交点

答案：

4. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 图象上部分点的坐标 $ (x, y) $ 对应值列表如下：
| $ x $ | $ \cdots $ | $ - 3 $ | $ - 2 $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ \cdots $ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | $ \cdots $ | $ - 3 $ | $ - 2 $ | $ - 3 $ | $ - 6 $ | $ - 11 $ | $ \cdots $ |
则该函数图象的对称轴是（ ）

A.直线 $ x = - 3 $
B.直线 $ x = - 2 $
C.直线 $ x = - 1 $
D.直线 $ x = 0 $

答案：

5. 若抛物线 $ y = x^{2} - 2x + 3 $ 不动，将平面直角坐标系 $ xOy $ 先沿水平方向向右平移 $ 1 $ 个单位长度，再沿铅直方向向上平移 $ 3 $ 个单位长度，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）

A.$ y = (x - 2)^{2} + 3 $
B.$ y = (x - 2)^{2} + 5 $
C.$ y = x^{2} - 1 $
D.$ y = x^{2} + 4 $

答案：

6. 已知将抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x + c $ 向左平移 $ 2 $ 个单位长度得到的抛物线经过三点 $ (-4, y_{1}) $， $ (-2, y_{2}) $， $ (\frac{1}{2}, y_{3}) $，则 $ y_{1}, y_{2}, y_{3} $ 的大小关系是（ ）

A.$ y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1} $
B.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
C.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $
D.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $

答案：

1. 将抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 向左平移 $ 2 $ 个单位长度，再向上平移 $ 3 $ 个单位长度，所得图象的解析式为 $ y = x^{2} + 2x + 3 $，则 $ b = \_\_\_ $， $ c = \_\_\_ $。

答案：

2. 若抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴的两个交点为 $ (-2, 0) $， $ (4, 0) $，则此抛物线的对称轴为 \_\_\_ 。

答案：

3. 二次函数 $ y = x^{2} - 2x - 3 $ 的图象如图所示，若线段 $ AB $ 在 $ x $ 轴上，且 $ AB $ 为 $ 2\sqrt{3} $ 个单位长度，以 $ AB $ 为边作等边 $ \triangle ABC $，使点 $ C $ 落在该函数 $ y $ 轴右侧的图象上，则点 $ C $ 的坐标为 \_\_\_ 。

答案：

4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $ OABC $ 的顶点 $ A $ 在 $ x $ 轴正半轴上，顶点 $ C $ 的坐标为 $ (4, 3) $。 $ D $ 是抛物线 $ y = - x^{2} + 6x $ 上一点，且在 $ x $ 轴上方，则 $ \triangle BCD $ 面积的最大值为 \_\_\_ 。

答案：

5. 已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} - 7x + \frac{15}{2} $，若自变量 $ x $ 分别取 $ x_{1}, x_{2}, x_{3} $，且 $ 0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3} $，则对应的函数值 $ y_{1}, y_{2}, y_{3} $ 的大小关系正确的是（ ）

A.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
B.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
C.$ y_{2} ＞ y_{3} ＞ y_{1} $
D.$ y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1} $

答案：

6. 直线 $ y = bx - c $ 与抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：

7. 对于二次函数 $ y = 2(x + 1)(x - 3) $，下列说法正确的是（ ）

A.图象的开口向下
B.当 $ x ＞ 1 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.当 $ x ＜ 1 $ 时， $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.图象的对称轴是直线 $ x = - 1 $

答案：

8. 如图，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A, B $ 两点，其中 $ A(-1, 0) $， $ C(0, 5) $， $ D(1, 8) $ 在抛物线上， $ M $ 为抛物线的顶点。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求 $ \triangle MCB $ 的面积。

答案：

9. 如图，对称轴为直线 $ x = - 1 $ 的抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A, B $ 两点，其中点 $ A $ 的坐标为 $ (-3, 0) $。
(1) 求点 $ B $ 的坐标；
(2) 已知 $ a = 1 $， $ C $ 为抛物线与 $ y $ 轴的交点。
① 若点 $ P $ 在抛物线上，且 $ S_{\triangle POC} = 4S_{\triangle BOC} $，求点 $ P $ 的坐标；
② 设点 $ Q $ 是线段 $ AC $ 上的动点，作 $ QD \perp x $ 轴，交抛物线于点 $ D $，求线段 $ QD $ 长度的最大值。

答案：