《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 二次函数的解析式通常有以下几种形式：(1) 一般式：$y=$____________________；(2) 顶点式：$y=$____________________；(3) 交点式：$y=$____________________。

答案：

2. 用待定系数法确定二次函数解析式的步骤如下：第一步，设：____________________；第二步，代：____________________；第三步，解：____________________。

答案：

1. 若抛物线$y = ax^{2}+bx + 5(a\neq0)$的顶点坐标是$(-1,-4)$，则$a=$________，$b=$________。

答案：

2. 某二次函数的图象如图所示，则此二次函数的解析式为________。

答案：

3. 若抛物线经过$(0,1)$，$(-1,0)$，$(1,0)$三点，则此抛物线的解析式为（ ）

A.$y = x^{2}+1$
B.$y = x^{2}-1$
C.$y=-x^{2}+1$
D.$y=-x^{2}-1$

答案：

4. 已知抛物线$y = x^{2}+bx + c$经过点$(3,1)$，$(-1,1)$，则此抛物线还经过点（ ）

A.$(1,2)$
B.$(0,-2)$
C.$(-5,2)$
D.$(-2,0)$

答案：

5. 求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1) 图象经过点$A(4,0)$，$B(1,0)$，$C\left(-2,\frac{9}{2}\right)$；
(2) 图象经过点$A(1,6)$，其顶点坐标为$B(-1,2)$；
(3) 图象经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$，函数有最小值$-8$。

答案：

6. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = ax^{2}+bx-\frac{1}{a}$与$y$轴交于点$A$，将点$A$向右平移$2$个单位长度，得到点$B$，点$B$在抛物线上。
(1) 求点$B$的坐标（用含$a$的式子表示）；
(2) 求抛物线的对称轴；
(3) 已知点$P\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{a}\right)$，$Q(2,2)$。若抛物线与线段$PQ$恰有一个公共点，结合函数图象，求$a$的取值范围。

答案：

7. 如图，已知二次函数$y = x^{2}+ax + 3$的图象经过点$P(-2,3)$。
(1) 求$a$的值和图象的顶点坐标；
(2) 点$Q(m,n)$在该二次函数图象上：
① 当$m = 2$时，求$n$的值；
② 若点$Q$到$y$轴的距离小于$2$，请根据图象直接写出$n$的取值范围。

答案：

1. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，且$P=\vert 2a + b\vert+\vert 3b - 2c\vert$，$Q=\vert 2a - b\vert-\vert 3b + 2c\vert$，则$P$，$Q$的大小关系是________。

答案：

2. 如图，一段抛物线：$y=-x(x - 2)(0\leqslant x\leqslant2)$，记为$C_{1}$，它与$x$轴交于两点$O$，$A_{1}$；将$C_{1}$绕点$A_{1}$旋转$180^{\circ}$得$C_{2}$，交$x$轴于点$A_{2}$；将$C_{2}$绕点$A_{2}$旋转$180^{\circ}$得$C_{3}$，交$x$轴于点$A_{3}$；……如此进行下去，直至得到$C_{6}$。若点$P(11,m)$在第$6$段抛物线$C_{6}$上，则$m=$________。

答案：

3. 如图，抛物线$y=-x^{2}+2x + 3$与$y$轴交于点$C$，$D(0,1)$，$P$是抛物线上的动点。若$\triangle PCD$是以$CD$为底的等腰三角形，则点$P$的坐标为________。

答案：

4. 一次函数$y = ax + c(a\neq0)$与二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$在同一个坐标系中的图象可能是（ ）

A.
B.
C.
D.

答案：

5. 在平面直角坐标系中，二次函数$y = x^{2}+2x - 3$的图象如图所示，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$是该二次函数图象上的两点，其中$-3\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant0$，则下列结论正确的是（ ）

A.$y_{1}\lt y_{2}$
B.$y_{1}\gt y_{2}$
C.$y$的最小值是$-3$
D.$y$的最小值是$-4$

答案：

6. 已知抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴只有一个交点$A(2,0)$。
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 若抛物线与$y$轴的交点为$B$，$O$是坐标原点，求$\triangle OAB$的周长。

答案：

7. 已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象与$y$轴交于点$C(0,-6)$，与$x$轴的一个交点坐标是$A(-2,0)$。
(1) 求二次函数的解析式，并写出顶点$D$的坐标；
(2) 将二次函数的图象沿$x$轴向左平移$\frac{5}{2}$个单位长度，当$y\lt0$时，求$x$的取值范围。

答案：

8. 如图，边长为$4$的等边三角形$ABC$，$AB$在$x$轴上，点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$C$在第一象限，$AC$与$y$轴交于点$D$。
(1) 求$B$，$C$，$D$三点的坐标；
(2) 求经过$B$，$C$，$D$三点的抛物线的解析式。

答案：

9. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，边长为$2$的正方形$OABC$的顶点$A$，$C$分别在$x$轴，$y$轴的正半轴上，二次函数$y=-\frac{2}{3}x^{2}+bx + c$的图象经过$B$，$C$两点。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 结合函数的图象探索：当$y\gt0$时，$x$的取值范围。

答案：

10. 如图，抛物线$y = x^{2}+bx + c$过点$A(-4,-3)$，与$y$轴交于点$B$，对称轴是直线$x=-3$。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 若与$x$轴平行的直线与抛物线交于$C$，$D$两点，点$C$在对称轴的左侧，且$CD = 8$，求$\triangle BCD$的面积。

答案：