《2024年能力素养与学力提升九年级数学上册人教版》

1. 画出函数 $ y = x^{2}-x - 2 $ 的图象，根据图象回答下列问题.
(1) 图象与 $ x $ 轴交点的坐标是________；
(2) 当 $ x $ 取何值时，$ y = 0 $？这里 $ x $ 的取值与方程 $ x^{2}-x - 2 = 0 $ 有什么关系？
从“形”的方面看，函数 $ y = x^{2}-x - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴交点的横坐标，即为方程 $ x^{2}-x - 2 = 0 $ 的解；从“数”的方面看，当二次函数 $ y = x^{2}-x - 2 $ 的函数值为 $ 0 $ 时，相应的自变量的值即为方程________的解.

答案：

2. 观察右图二次函数 $ y = x^{2}-nx - 4 $ 的图象回答：
(1) 方程 $ x^{2}-nx - 4 = 0 $ 的解是________；
(2) 不等式 $ x^{2}-nx - 4 ＞ 0 $ 的解集是________；
(3) 不等式 $ x^{2}-nx - 4 \leq 0 $ 的解集是________.
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答案：

3. 抛物线 $ y = x^{2}+bx + 4 $ 与 $ x $ 轴只有一个交点，则 $ b = $________.

答案：

1. 如图是抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象，方程 $ ax^{2}+bx + c - 3 = 0 $ 的根是________.
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答案：

2. 抛物线 $ y = ax^{2}+2ax + c $ 与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (-5,0) $，则它与 $ x $ 轴的另一个交点的坐标为________.

答案：

3. 若抛物线 $ y = 2x^{2}-4x + 1 $ 与 $ x $ 轴的两交点分别是 $ A(x_{1},0) $，$ B(x_{2},0) $，则 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= $________，线段 $ AB $ 的长为________.

答案：

4. 如图是二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 图象的一部分，图象过点 $ A(-3,0) $，对称轴为直线 $ x = -1 $. 以下结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ b^{2}-4ac ＞ 0 $；③ $ 4b + c ＜ 0 $；④ 若 $ B(-\frac{5}{2},y_{1}) $，$ C(-\frac{1}{2},y_{2}) $ 为函数图象上的两点，则 $ y_{1} ＞ y_{2} $；⑤ 当 $ -3 \leq x \leq 1 $ 时，$ y \geq 0 $. 其中正确结论的序号是________.
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答案：

5. 如图，二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于 $ C $ 点，对称轴是直线 $ x = -1 $，点 $ B $ 的坐标为 $ (1,0) $. 下面的四个结论：① $ AB = 4 $；② $ b^{2}-4ac ＞ 0 $；③ $ ab ＜ 0 $；④ $ a - b + c ＜ 0 $. 其中正确结论的序号是________.
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答案：

6. 如图，抛物线 $ y = x^{2}+mx + (m - 1) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(x_{1},0) $，$ B(x_{2},0) $，且 $ x_{1} ＜ x_{2} $，与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,c)(c ＜ 0) $，且满足 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}=7 $.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 在抛物线上能不能找到一点 $ P $，使 $ \angle POC = \angle PCO $？若能，请求出点 $ P $ 的坐标；若不能，请说明理由.
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答案：

7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ OABC $ 的边长为 $ 4 $，顶点 $ A $，$ C $ 分别位于 $ x $ 轴，$ y $ 轴的正半轴上，抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2}+bx + c $ 过 $ B $，$ C $ 两点，$ D $ 为抛物线的顶点，连接 $ AC $，$ BD $，$ CD $.
(1) 求此抛物线的解析式；
(2) 求此抛物线的顶点 $ D $ 的坐标和四边形 $ ABDC $ 的面积.
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答案：

1. 已知函数 $ y = ax^{2}+bx + c $（$ a $，$ b $，$ c $ 为常数，且 $ a \neq 0 $）的图象如图所示，则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+bx + c - 4 = 0 $ 的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.无实数根
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答案：

2. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示，对称轴为直线 $ x = 1 $，给出下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ b^{2} ＞ 4ac $；③ $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；④ $ 3a + c ＞ 0 $. 其中正确的结论有（ ）

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
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答案：

3. 如图是二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象，下列结论：① 二次三项式 $ ax^{2}+bx + c $ 的最大值是 $ 4 $；② $ 4a + 2b + c ＜ 0 $；③ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 1 $ 的两根之和为 $ -1 $；④ 使 $ y \leq 3 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是 $ x \geq 0 $. 其中正确结论的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4
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答案：

4. 如图，抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-2,0) $，$ B(1,0) $. 直线 $ x = -0.5 $ 与此抛物线交于点 $ C $，与 $ x $ 轴交于点 $ M $，在直线上取点 $ D $，使 $ MD = MC $，连接 $ AC $，$ BC $，$ AD $，$ BD $. 某同学根据图象写出下列结论：① $ a - b = 0 $；② 当 $ -2 ＜ x ＜ 1 $ 时，$ y ＞ 0 $；③ 四边形 $ ACBD $ 是菱形；④ $ 9a - 3b + c ＞ 0 $. 其中正确的是（ ）

A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
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答案：

5. 如图是二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象，下列结论：① $ b ＜ 0 $，$ c ＞ 0 $；② $ a + b + c ＜ 0 $；③ 方程的两根之和大于 $ 0 $；④ $ a - b + c ＜ 0 $. 其中正确结论的个数是（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1
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答案：

6. 如图，已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1,0) $，与 $ y $ 轴的交点 $ B $ 在 $ (0,-2) $ 和 $ (0,-1) $ 之间（不包括这两个点），对称轴为直线 $ x = 1 $. 下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；③ $ 4ac - b^{2} ＜ 16a $；④ $ \frac{1}{3} ＜ a ＜ \frac{2}{3} $；⑤ $ b ＞ c $. 其中正确的是（ ）

A.①③
B.①③④
C.②④⑤
D.①③④⑤
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答案：

7. 如图是抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的部分图象，其顶点坐标为 $ (1,n) $，且与 $ x $ 轴的一个交点在点 $ (3,0) $ 和 $ (4,0) $ 之间，则下列结论：① $ a - b + c ＞ 0 $；② $ 3a + b = 0 $；③ $ b^{2} = 4a(c - n) $；④ 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = n - 1 $ 有两个不相等的实数根. 其中正确结论的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4
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答案：

8. 如图，二次函数 $ y = (x + 2)^{2}+m $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ C $，点 $ B $ 在抛物线上，且与点 $ C $ 关于抛物线的对称轴对称. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过该二次函数图象上的点 $ A(-1,0) $ 及点 $ B $.
(1) 求二次函数与一次函数的解析式；
(2) 根据图象，写出满足 $ (x + 2)^{2}+m \geq kx + b $ 的 $ x $ 的取值范围.
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答案：

9. 一次函数 $ y = kx + 4 $ 与二次函数 $ y = ax^{2}+c $ 的图象的一个交点坐标为 $ (1,2) $，另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1) 求 $ k $，$ a $，$ c $ 的值；
(2) 过点 $ A(0,m)(0 ＜ m ＜ 4) $ 且垂直于 $ y $ 轴的直线与二次函数 $ y = ax^{2}+c $ 的图象交于 $ B $，$ C $ 两点，点 $ O $ 为坐标原点，记 $ W = OA^{2}+BC^{2} $，求 $ W $ 关于 $ m $ 的函数解析式，并求 $ W $ 的最小值.

答案：